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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 13.7 - Ex. 62

Dois satélites, A e B , ambos de massa m , estão em órbita circular em torno da Terra. O satélite A orbita a uma altitude de 6370   k m e o satélite B a uma altitude de 19.110   k m . O raio da Terra é 6370   k m . (a) Qual é a razão entre a energia potencial do satélite B e a do satélite A ? (b) Qual é a razão entre a energia cinética do satélite B e a do satélite A ? (c) Qual dos dois satélites possui maior energia total se ambos têm uma massa de 14,6   k g ? (d) Qual é a diferença entre as energias totais dos dois satélites?

Passo 1

(a) Vamos lembrar a fórmula para a energia potencial de um satélite em órbita:

U =   - G M T m r

E vamos lembrar que o r é a distância do satélite ao centro da Terra, por isso precisamos fazer as seguintes somas: (sabendo que o raio da Terra é R T = 6370   k m )

r A = R T + 6730 = 6370 + 6370 = 12740   k m

r B = R T + 19100 = 19110 + 6370 =   25480   k m

Então, a razão entre as duas energias potenciais é:

U B U A =   G M T m r B G M T m r A = r A r B = 25480 12740 = 1 2

Passo 2

Na letra (b) vamos fazer mais ou menos a mesma coisa, mas com a energia cinética:

K = G M T m 2 r

Obs.: Se não quiser demonstrar essa fórmula, é só lembrar que v = G M r e K = m v 2 2 .

Dessa vez a razão vai ser:

K B K A = G M T m 2 r B G M T m 2 r A =   r A r B = 25480 12740 = 1 2

Deu no mesmo!

Passo 3

A letra (c) fala em energia total. Isso quer dizer que precisamos somar:

E T = K + U

E = G M T m 2 r - G M T m r = - G M T m 2 r

Como r está no denominador, um r maior faz aquela fração ficar menor.

Mas cuidado! Aquele sinal negativo faz toda a diferença. Se a fração fica menor, então E fica “menos negativo” (mais perto do zero), e portanto maior.

Isso quer dizer que quanto maior for r , maior será a energia! Nesse caso, o satélite B tem energia total maior.

Passo 4

Por último, queremos a diferença entre as energias totais dos dois satélites. Podemos aproveitar a fórmula que acabamos de achar:

E   = - G M T m 2 r

Vamos fazer Δ E = E B - E A

Δ E =   = - G M T m 2   1 r B - 1 r A

Substituindo:

Δ E =   = - 6,67.10 - 11 5,98   .   10 24 14,6 2   1 25480.10 3 - 1 12740.10 3 = 1,1.10 8   J

Pronto!

Resposta

(a) U B U A = 1 2

(b) K B K A = 1 2

(c) O satélite B tem energia total maior.

(d) Δ E =   1,1.10 8   J

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