Dois vetores e têm módulos precisamente iguais. Para o módulo de ser vezes maior que o de, qual deve ser o ângulo entre eles?

Da definição de produto interno (ou escalar) lá da Álgebra Linear e da Geometria Analítica, você deve lembrar que:

Em que é a expressão que define o produto interno entre os vetores e , e são os módulos desses vetores e é o ângulo entre esses dois vetores. Um desenho te ajuda a visualizar isso melhor:

Agora, também é possível a gente calcular o produto interno entre um vetor e ele próprio. Exemplos seriam os produtos internos ou . Se aplicarmos a definição de produto interno dada ali em cima pra , por exemplo, a gente teria:

Em que seria o ângulo entre o vetor e ele mesmo. Só que você há de convir que o ângulo entre um vetor e ele mesmo vale , e o cosseno de 0 vale !

Nisso, essa última expressão pode ser reescrita assim:

Com isso em mente, vamos retornar lá pra equação em que paramos no Passo 1:

Paramos aqui, certo? E você acabou de ver que o quadrado do módulo de um vetor equivale ao produto interno desse vetor com ele mesmo, correto? A partir disso, então, a gente pode escrever o seguinte:

Pela propriedade distributiva que se aplica também aos vetores, vamos abrir esses parênteses executando o produto entre eles, assim:

E como a gente acabou de ver, vale que e . Vamos escrever isso então:

Você viu no enunciado que os módulos de e são exatamente iguais, certo? Então vamos escrever que , tudo bem? Além disso, vamos aplicar a definição de produto interno vista no Passo 2 nessa última expressão também.

Reescrevemos nossa última expressão assim:

Rearrumamos assim, substituindo e novamente por :

E vamos ter:

Aqui a gente ainda pode colocar o termo em evidência e manejar a equação. Teremos isso aqui:

Vamos agora cortar os termos em comum dos dois lados da igualdade, resultando na seguinte expressão:

Abrimos o produto do lado direito da igualdade:

Vamos juntar os termos em comum:

Bom, como , vamos nos dar ao luxo de considerar desprezíveis as parcelas e na última equação pra facilitar nosso cálculo. Nisso, chegamos à seguinte expressão:

Daí cortamos o termo em comum, tendo:

E concluímos que , o ângulo entre os vetores e pode valer, em radianos, , etc.