Considere um vetor no sentido positivo do eixo , um vetor no sentido positivo do eixo e um escalar . Qual é a orientação de se é (a) positivo e (b) negativo? Qual é o mnódulo de (c) e (d) ? Qual é a orientação (e) de e (f) ? (g) Qual é o módulo de ? (h) Qual é o módulo de ? Qual é(i) a amplitude e (j) a orientação de se é positivo?

(b) No caso em que é negativo, o sentido do vetor vai se inverter: ele vai apontar na vertical para baixo. E assim como antes, sua magnitude pode aumentar ou diminuir.

(c) Agora vamos fazer o produto escalar de e .

Como os dois vetores são perpendiculares, o seu produto escalar é sempre nulo:

Se não lembrar disso, você pode usar a fórmula para o produto escalar:

Onde é o módulo do vetor , e assim por diante, e é o ângulo formado pelos dois vetores. No caso em que :

(d) Agora queremos calcular o módulo do seguinte produto escalar:

Como vimos lá em cima, dividir um vetor por um escalar nunca altera a direção do vetor.

Isso quer dizer que os vetores vão continuar sendo perpendiculares, e então o produto escalar vai continuar sendo nulo.

(e) Para descobrir a orientação do produto vetorial, temos que usar a regra da mão direita.

Ao contrário do produto escalar, o produto vetorial produz um vetor. E a regra da mão direita é quem dá a orientação desse vetor. Essa regra é muito usada na física. Você só precisa seguir alguns passos.

Aponte o seu indicador na direção e sentido do vetor , e o seu dedo médio na direção e sentido do vetor . Agora estenda o seu polegar.

A direção para onde o seu polegar aponta é a direção do produto vetorial.

Agora seu polegar deveria estar apontando para fora da página, em uma direção perpendicular aos dois vetores.

(f) Agora vamos mudar um pouco as coisas:

Quando trocamos a ordem de um produto vetorial ( ao invés de ) a única diferença no resultado é o sinal.

Ou seja, se antes o resultado era um vetor perpendicular ao plano da página e saindo dela, agora o resultado é um vetor entrando nela.

Outra forma de ver isso é usando a regra da mão direita mais uma vez:

(g) Agora queremos calcular o módulo de . Vamos lembrar da fórmula para o módulo de um produto vetorial:

Onde é o ângulo formado pelos dois vetores. Nesse caso, , então:

(h) E o que acontece com o módulo quando trocamos a ordem do produto vetorial?

O ângulo continua sendo :

Como , o módulo continua igual.

(i) Queremos calcular outro módulo de um produto vetorial. Vamos usar a mesma fórmula de antes:

O módulo do vetor é simplesmente o módulo de dividido pelo escalar . Além disso, já que a divisão por escalar não muda a direção de um vetor, o ângulo continua sendo .

Então:

(j) Agora queremos saber a orientação desse produto vetorial:

Já vimos que a divisão por escalar não altera a direção do vetor. E quanto o escalar é positivo, essa divisão também não altera o sentido.

Ou seja, esse produto vetorial terá a mesma orienação que o produto : estará saindo do plano da página.