Enunciado
Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 13.2 - Ex. 10
Duas dimensões. Na Fig. 13-34, três partículas pontuais são mantidas fixas em um plano xy. A partícula A tem massa , a partícula B tem massa e a partícula C tem massa . Uma quarta partícula, de massa , pode ser colocada nas proximidades das outras três partículas. Em termos da distância d, em que valor da coordenada (a) x e (b) y a partícula D deve ser colocada para que a força gravitacional exercida pelas partículas B, C e D sobre a partícula A seja nula?
Passo 1
Esse problema já é bidimensional. Então temos que garantir a força resultante nula em A, tanto na direção horizontal quanto na vertical. Então, ao contrário dos problemas em uma dimensão, onde a gente tinha que resolver uma equação só, agora temos que resolver duas equações acopladas (uma para direção x e outra pra y), ou seja, um sistema. Mas relaxa que esse sistema é simples.
Passo 2
Para resolver essa questão vamos escrever a força gravitacional da seguinte maneira
Onde é o vetor unitário que aponta da direção de uma partícula para outra e
E é a distância entre as duas partículas.
Agora vamos escrever as posições de cada uma das partículas
Partícula A:
Partícula B:
Partícula C:
E a partícula D que queremos determinar é
Passo 3
Assim a força resultante em será a soma das forças que cada partícula exerce em :
E cada um desses vai ser
Juntando tudo isso e lembrando que , , e , temos que
Como queremos que a força total seja nula, temos que impor que cada uma das componentes seja nula, assim:
Em :
Em :
Passo 4
Esse sisteminha parece bem chato de resolver, não é mesmo? Pra resolver ele, vamos passar para coordenadas polares escrevendo
Com
Assim o sistema fica
No :
No :
Passo 5
Para resolver vamos dividir a segunda equação pela primeira
Com isso:
Para achar vamos usar a relação fundamental da trigonometria
Passo 6
Agora basta voltar para e :
E acabou! 😊
Resposta
(a)
(b)