Enunciado

As duas ondas a seguir se propagam em sentidos opostos em uma corda horizontal, criando uma onda estacionária em um plano vertical.

y 1 x , t = 6,00 m m s e n 4,00 π x - 400 π t

y 2 x , t = 6,00 m m s e n 4,00 π x + 400 π t

onde x está centímetros e t em segundos. Um antinó está localizadono ponto A . No intervalo de tempo que esse ponto leva para passar da posiçao de deslocamento máximo para cima para a posição de deslocamento mínimo para baixo, qual é o deslocamento de cada seção ao longo da corda?

Passo 1

Falaaa galerinha do RespondeAí, tudo beleza?

Saca só, nesse exercício aqui o enunciado nos deu a função de onda de duas ondas que se propagam em sentidos opostos em uma corda horizontal, as funções são:

y 1 x , t = 6,00   mm sen ⁡ 4,00 π x - 400 π t

y 2 x , t = 6,00   mm sen ⁡ 4,00 π x + 400 π t

Onde x está em centímetros e t em segundos. E sabendo que um antinó está localizado no ponto A e que a onda resultante entre y 1 e y 2 é uma onda estacionária no plano vertical, o enunciado quer saber qual é o deslocamento ao longo da corda no inervalo de tempo que esse ponto A leva para passar da posição de deslocamento máximo para cima para a posição de deslocamento mínimo para baixo.

Iradoso, primeiro, precisamos observar que quando as duas ondas se superpõem, uma nova onda estacionária surgirá, com equação dada pela pela soma algébrica entre y 1 e y 2 , logo:

y x , t = y 1 x , t + y 2 x , t

y x , t =   6,00   mm sen ⁡ 4,00 π x - 400 π t + 6,00   mm sen ⁡ 4,00 π x + 400 π t

y x , t = 6,00   mm sen ⁡ 4,00 π x - 400 π t + sen ⁡ 4,00 π x + 400 π t

Logo:

y x , t = 6,00   mm 2 sen ⁡ 4,00 π x c o s ⁡ ( 400 π t )

Isso é importante porque agora obtemos duas informações interessantes sobre a onda, o valor do número de onda k que acompanha o x , tal que k = 4,00 π , e a frequência angular ω que acompanha o t , de modo que ω = 400 π .

Maravilha, então bora lá ver como vamos usar essas informações para encontrar distância percorrida.

Passo 2

Belejóia! Então se a gente reparar na última expressão do passo anterior. Ela representa uma onda estacionária de amplitude y m = 12,00   mm , frequência angular ω = 400 π e número de onda k = 4,00 π . Como ω = 400 π , a gente consegue determinar o período já que

ω = 2 π T

Então:

T = 2 π ω

T = 2 π 400 π

Logo:

T = 0 , 00 5   s

Passo 3

A questão nos pede para observar o que ocorre com um antinó (ventre) localizado num ponto A . O intervalo de tempo Δ t que esse ponto leva para passar da posiçao de deslocamento máximo para cima para a posição de deslocamento mínimo para baixo é metade de um período, então:

Δ t = 1 2 T

Δ t = 0 , 00 25   s

A distância que a onda percorre durante esse período é igual a

Δ x = v Δ t

Onde v é a velocidade da onda, que pode ser obtida através da relação v = λ f . MAAASSS, podemos substituir λ   e f por relações que envolvam k e T . Por exemplo para o comprimento de onda λ , temos a relação:

k = 2 π λ

Logo:

λ = 2 π k

E a para a frequência, temos a relação com o período:

f = 1 T

Sendo assim, a velocidade v pode ser reescrita como:

v = 2 π k 1 T

Dessa maneira o deslocamento ∆ x será dado como:

∆ x = v ∆ t

∆ x = 2 π k 1 T ∆ t

Como k = 4,00 π , T = 0,005   s e ∆ t = 0,0025   s , vamos obter que:

∆ x = 2 π 4,00 π 1 0,005 0,0025

Δ x = 0,25   m

Prontinho galera!

Resposta

0,25   m

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