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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 16.1 - Ex. 77

Uma onda estacionária em uma corda é representada pela função de onda y x , t = 0,020   s e n   1 2 π x cos ⁡ 40 π t , onde x e y estão em metros e t está em segundos. (a) Escreva funções de onda para duas ondas progressivas que, quando superpostas, produzem este ádrão estacionário. Em cada caso, comtemple o intervalo - 5,0   m < x < + 5,0   m . (b) Qual é a distância entre os nós da onda estacionária? (c) Qual é a rapidez máxima da corda em x = 1,0   m ?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Item (a):

A função da onda viajando na direção + x , é dada por:

y 1 x , t = 0,010   m sin ⁡ π 2 m - 1 x - 40 π   s - 1 t

A função da onda viajando na direção - x , é dada por:

y 2 x , t = 0,010   m sin ⁡ π 2 m - 1 x + 40 π   s - 1 t

Passo 2

Item (b):

A distância entre nós adjacentes é dada por:

d = 1 2 λ

Podemos usar o número de onda para encontrar o comprimento de onda:

k = 1 2 π m - 1

k = 2 π λ

2 π λ = 1 2 π

λ = 4   m

Logo:

d = 1 2 ( 4   m )

d = 2   m

Passo 3

Item (c):

A derivada temporal da função da onda nos dá a velocidade:

v y x , t = d d t 0,02   m sin ⁡ π 2 m - 1 x cos ⁡ 40 π   s - 1 t

v y x , t = - ( 0,80 π   m / s ) sin ⁡ π 2 m - 1 x sin ⁡ 40 π   s - 1 t

Para v y 1   m ,   t , temos:

v y 1   m ,   t = - 0,80 π m s sin ⁡ π 2 m - 1 ( 1   m ) sin ⁡ 40 π   s - 1 t

v y 1   m ,   t = ( 0,80 π   m / s ) sin ⁡ 40 π   s - 1 t

v y 1   m ,   t = ( 2,5   m / s ) sin ⁡ 40 π   s - 1 t

Para que ocorra a velocidade máxima o temos que sin ⁡ 40 π   s - 1 t = 1 , portanto:

v m á x = 2,5   m / s

Passo 4

Item (d):

A derivada temporal da função da velocidade onda nos dá a aceleração:

a y x , t = d d t - ( 0,80 π   m / s ) sin ⁡ π 2 m - 1 x sin ⁡ 40 π   s - 1 t

a y x , t = - ( 32 π 2   m / s 2 ) sin ⁡ π 2 m - 1 x cos ⁡ 40 π   s - 1 t

Para a y 1   m ,   t , temos:

a y 1   m ,   t = ± ( 32 π 2   m / s 2 ) sin ⁡ π 2 m - 1 ( 1   m ) cos ⁡ 40 π   s - 1 t

a y 1   m ,   t = ± ( 32 π 2   m / s 2 ) cos ⁡ 40 π   s - 1 t

a y 1   m ,   t = ± ( 0,32   k m / s 2 ) cos ⁡ 40 π   s - 1 t

Para que ocorra a velocidade máxima o temos que cos ⁡ 40 π   s - 1 t = 1 , portanto:

a m á x = ± ( 0,32   k m / s 2 )

Resposta

a ) y 1 x , t = 0,010   m sin ⁡ π 2 m - 1 x - 40 π   s - 1 t

y 2 x , t = 0,010   m sin ⁡ π 2 m - 1 x + 40 π   s - 1 t

b )   2   m

c ) v m á x = 2,5   m / s

d ) a m á x = ± ( 0,32   k m / s 2 )

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