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Enunciado

Física - Halliday - Vol 4- Ed: 10º - Capítulo 39.2 - Ex. 15

Um elétron está confinado em um poço de potencial infinito unidimensional com 100   p m de largura; o elétron se encontra no estado fundamental. Qual é a probabilidade de que o elétron seja detectado em uma região de largura Δ x = 5,0   p m no entorno do ponto a   x = 25   p m ; b   x = 50   p m ; c   x = 90   p m ? (Sugestão: a largura delta da região e tão pequena q a densidade de probabilidade pode ser considerada constante no interior da região.)

Passo 1

A densidade de probabilidade é dada pela função de onda ao quadrado (com n = 1 , porque o elétron está no estado fundamental):

ψ 2 = 2 L s e n 2 π x L

E a probabilidade é:

d p x = ψ 2 d x

Ao integrarmos em todo o espaço o d p ( x ) deixa de ser um diferencial e passa ser a própria p ( x ) . Mas podemos usar o valor Δ x dado pelo enunciado, já que ele é tão pequeno, que a densidade de probabilidade é constante naquela região. Dessa forma, não precisamos integrar, basta fazermos:

p x = ψ 2 Δ x

p x = 2 Δ x L s e n 2 π x L

Passo 2

(a) substituindo o primeiro valor de x e os valores constantes de Δ x e L , a gente fica com:

p x = 2 ( 5,0   p m ) 100   p m s e n 2 π   25 p m 100   p m = 0,050

Passo 3

(b) repetindo para x = 50   p m :

p x = 2 ( 5,0   p m ) 100   p m s e n 2 π   50 p m 100   p m = 0 , 1 0

Passo 4

(c) E para x = 90   p m :

p x = 2 ( 5,0   p m ) 100   p m s e n 2 π   9 0 p m 100   p m = 0 , 0095

Resposta

a   p x = 0,050

b   p x = 0 , 10

c   p x = 0,0 095

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