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Enunciado

Física - Halliday - Vol 4- Ed: 10º - Capítulo 39.2 - Ex. 14

Um elétron se encontra em um certo estado de energia de um poço infinito unidimensional que se estende de x = 0 até x = L = 200   p m . A densidade de probabilidade do elétron é zero em x = 0,300 L e x = 0,400 L e não é zero para nenhum valor intermediário de x . O elétron salta para o nível de energia imediatamente inferior, emitindo um fóton. Qual é a variação de energia do elétron?

Passo 1

Bom, o enunciado diz que em dois pontos, a densidade de probabilidade é zero, esses pontos são:

x = 0,300 L

x = 0,400 L

Na equação de probabilidade:

p x = ψ n 2 x d x

Com a função de onda para o poço infinito sendo:

ψ n x = 2 L s e n n π L x

A equação passa a ser:

p x = 2 L s e n n π L x 2 d x

A gente pode ver que o que faz a densidade de probabilidade ψ n 2 x zerar é a função seno, então as seguintes condições são satisfeitas:

s e n 0,300 n π = s e n 0,400 n π = 0

Passo 2

Para que isso seja verdade, n deve ser:

n = 10 m

Sendo m = 1 ,   2 ,   3 …

Precisamos agora determinar esse m , como o enunciado diz para a gente que a densidade de probabilidade não zera entre os dois valores de x que a função zera, então m só pode ser 1 , porque qualquer outro valor faria a função zerar entre x = 0,300 L e x = 0,400 L .

Passo 3

Beleza, como o elétron cai para o nível inferior, ele vai cair para n = 9 , vamos usar a equação de energia quantizada para cada n e então fazemos a diferença entre elas para sabermos a energia do fóton que foi emitido:

∆ E = E 10 - E 9 = h 2 8 m L 2 10 2 - h 2 8 m L 2 9 2 = h 2 8 m L 2 ( 10 2 - 9 2 )

Passo 4

Como a partícula é um elétron, e o comprimento do poço foi dado, basta a gente substituir todos os valores e resolver a questão:

∆ E = 6 , 6 3 × 10 - 34   J ∙ s 2 8 9,11 × 10 - 31 k g 2,00 × 10 - 12   m 2 ( 10 2 - 9 2 )

∆ E = 2,86 × 10 - 11   J

Resposta

∆ E = 2,86 × 10 - 13   J

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