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Enunciado

Física - Halliday - Vol 4- Ed: 10º - Capítulo 39.2 - Ex. 13

Um poço infinito unidimensional de 200   p m de largura contém um elétron no terceiro estado excitado. Um detector de elétrons com 2,00   p m de largura e instalado com o centro em um ponto de máxima densidade de probabilidade. ( a ) Qual é a probabilidade de que o elétron seja detectado? ( b ) a cada 1000 vezes que realizamos essa experiencia, quantas vezes, em média, o elétron será detectado?

Passo 1

Beleza, como a questão pede para a gente a probabilidade de detectarmos o elétron, vamos usar a equação de probabilidade:

p x = ψ n 2 x d x

Como a densidade de probabilidade é o quadrado da função de onda do elétron no poço, então:

ψ n 2 x = 2 L s e n n π L x 2

Ficamos com:

p x = 2 L s e n n π L x 2 d x

Passo 2

Como o enunciado fala que o detector foi instalado no centro do poço, onde a densidade de probabilidade tem um ponto máximo, então x vai ser:

x = L 2 = 200   p m 2 = 100   p m

Além disso, o elétron está no terceiro estado excitado, então n = 4 (porque n = 1 é o estado fundamental), e d x = 2,00   p m que é a largura do detector.

Agora que sabemos todos os valores que precisávamos para a equação do passo 1, a gente já pode calcular a probabilidade:

p x = 2 200   p m s e n 4 π 200   p m 100   p m 2 2,00   p m

Podemos ver que a probabilidade nesse caso vai ser zero, porque simplificando aquela função seno:

s e n 4 π 200   p m 100   p m = s e n 4 π 2 = s e n 2 π

Vemos que será zero, anulando todos os produtos.

Passo 3

Mas a questão diz que é um máximo de densidade de probabilidade, e ela não poderia ser zero. Então a gente pode dizer que a questão está errada, a situação que ela quer é o caso n = 3 (segundo estado excitado), nesse caso, a equação de probabilidade fica:

p x = 2 200   p m s e n 3 π 200   p m 100   p m 2 2,00   p m

O seno não vai zerar, e o resultado é:

p x = 0,020

Passo 4

(b) Fazendo a medição 1000 vezes, o número esperado para que a gente consiga detectar o elétron é:

N p = 1000 × 0,020 = 20   v e z e s

Resposta

a   p a r a   n = 3 ,   p x = 0,020

b   20   v e z e s

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