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Enunciado

Física - Halliday - Vol 4- Ed: 10º - Capítulo 39.Problemas adicionais - Ex. 60

Um elétron é confinado em um tubo estreito evacuado com 3,0   n m de comprimento; o tubo se comporta como um poço de potencial infinito unidimensional. (a) Qual é a diferença de energia entre o estado fundamental do elétron e o primeiro estado excitado? (b) Para que número quântico n a diferença entre níveis de energia vizinhos é da ordem de 1,0   e V (um valor suficientemente grande para ser medido, ao contrário do valor obtido no item (a))? Para esse número quântico, (c) calcule a energia total do elétron em termos da energia de repouso e (d) determine se a velocidade do elétron é relativística.

Passo 1

Para um elétron confinado em um tubo estreito e evacuado (poço potencial infinito) a energia é dada por:

E n = h 2 8 m L 2 n 2

Passo 2

a) A diferença de energia entre o estado fundamental ( n = 1 )   do elétron e o primeiro estado excitado ( n = 2 )   é dada por:

E 2 - E 1 = h 2 8 m L 2 2 2 - 1 2

Multiplicando e dividindo por c 2 para facilitar nas unidade de medida

E 2 - E 1 = h c 2 8 m c 2 L 2 2 2 - 1 2

Sendo m = 9,1 ⋅ 10 - 31 k g e L = 3,0   m , temos:

E 2 - E 1 = 1240 8 511 ⋅ 10 3 3,0 ⋅ 10 9 2 = 1,3 ⋅ 10 - 19   e V

Passo 3

b) Temos que a variação de energia de um nível n + 1 e n é:

∆ E = E n + 1 - E n = h 2 8 m L 2 2 n + 1 = h c 2 8 m c 2 L 2 2 n + 1

Isolando n :

n = 4 m c 2 L 2 ∆ E h c 2 - 1 2

Como queremos que ∆ E seja 1,0   e V teremos que o número quântico é:

n = 4 511 ⋅ 10 3   e V 3,0 ⋅ 10 9   n m 1,0   e V 1240   e V   n m 2 - 1 2 = 1,2 ⋅ 10 19

Passo 4

c) Quando n = 1,2 ⋅ 10 19 , temos que a energia total será:

E n = 1240 2 8 511 ⋅ 10 3 3,0 ⋅ 10 9 2 1,2 ⋅ 10 19 2 = 6 ⋅ 10 18   e V

Essa energia em termos da energia de repouso fica:

E n m c 2 = 6 ⋅ 10 18   e V 511 ⋅ 13 3   e V = 1,2 ⋅ 10 13

Passo 5

d) Como E n m c 2 ≫ 1 , a velocidade do eçétron é relativística.

Resposta

a) E 2 - E 1 = 1,3 ⋅ 10 - 19   e V

b) n = 1,2 ⋅ 10 19

c) E n m c 2 = 1,2 ⋅ 10 13

d) É relativistica

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