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Enunciado

Física - Halliday - Vol 4- Ed: 10º - Capítulo 39.1 - Ex. 10

Um elétron está confinado em um, poço de potencial infinito unidimensional. Determine o valor (a) do número quântico maior e (b) do número quântico menor para que a diferença de energia entre os estados seja igual a três, vezes a diferença de energia ∆ E 43 entre os níveis n = 4 e n = 3 . (c) Mostre que não existe nenhum par de níveis de energia vizinhos com uma diferença de energia igual a 2 ∆ E 43 .

Passo 1

(a) Vamos considerar a diferença de energia caso mais geral possível entre dois níveis vizinhos:

∆ E = E n + 1 - E n

Pela equação da energia quantizada para o elétron no poço de potencial:

E n = h 2 8 m L 2 n 2

A diferença vai ficar:

∆ E = h 2 8 m L 2 ( n + 1 ) 2 - h 2 8 m L 2 n 2

Colocando o fator comum em evidência:

∆ E = h 2 8 m L 2 ( n + 1 ) 2 - n 2

Mas sabemos que:

E 1 = h 2 8 m L 2 1 2 = h 2 8 m L 2

Então podemos substituir a primeira parte da equação da diferença por:

∆ E = E 1 ( n + 1 ) 2 - n 2

Abrindo o polinômio:

∆ E = E 1 n 2 + 2 n + 1 - n 2

Sobra:

∆ E = E 1 2 n + 1

Passo 2

Agora que temos uma equação geral, podemos usar o caso dado no enunciado da diferença de energia que é três vezes a diferença entre os níveis E 4 e E 3 para determinar ele, já que não sabemos qual é o seu nível:

E n + 1 - E n = E 1 2 n + 1

3 ( E 4 - E 3 ) = 3 h 2 8 m L 2 ( 4 2 - 3 2 ) = 3 4 2 E 1 - 3 2 E 1 = 21 E 1

E então:

E 1 2 n + 1 = 21 E 1

2 n + 1 = 21

n = 10

E o maior número quântico é n + 1 = 11

Passo 3

(b) O menor será o anterior n = 10

Passo 4

Na letra (c) basta repetirmos o que fizemos, mas agora usando o dobro da diferença de energia entre os níveis 4 e 3:

2 ( E 4 - E 3 ) = 2 h 2 8 m L 2 ( 4 2 - 3 2 ) = 2 4 2 E 1 - 3 2 E 1 = 14 E 1

Assim:

E 1 2 n + 1 = 14 E 1

2 n + 1 = 14

n = 6,5

Como o número não é inteiro, não tem como tomarmos um par entre esse valor e qualquer outro.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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