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Enunciado

Física - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 8.Problemas Numéricos - Ex. 4

A função de onda no estado fundamental de uma partícula confinada numa caixa unidimensional de comprimento L   é:

Ψ = 2 L 1 2 s e n π x L

Imagine que a caixa tenha 10 n m de comprimento. Calcule a probabilidade de a partícula estar entre: (a) x = 4,95   n m     e     5,05   n m ; (b) x = 1,95   n m     e     2,05   n m ; (c) x = 9,90   n m     e     10   n m ; (d) na metade direita da caixa; e (e) no terço cenmtral da caixa.

Passo 1

Cheegaa maaaiss... cola aqui bem pertinho do RA e bora resolver mais essa questãozinha!!

Aqui, apesar de parecer complicado demais, temos mais uma questãozinha de aplicação de fórmulas.. a fórmula em questão é a de probabilidade quântica.

Ela diz basicamente o seguinte:

P x = ∫ x 1 x 2 Ψ 2 d x

Onde as posições x 1 e x 2 o enunciado fornece... basta integrarmos isso e poderemos substituir os valores.

Passo 2

Vamos a isso então:

P x 1 , x 2 = ∫ x 1 x 2 2 L sin 2 ⁡ π x L d x

Teremos:

P x 1 , x 2 = 2 L   ∫ x 1 x 2 sin 2 ⁡ π x L d x

Lembra das integrais trigonométricas?? Aplicando, teremos o seguinte:

P x 1 , x 2 = x 2 - x 1 L - 1 2 π sin ⁡ 2 π L x 2 - sin ⁡ 2 π L x 1

Vamos então usar essa fórmulinha como base para fazer o exercício....

Passo 3

  1. x 1 = 4,95 n m ; x 2 = 5,05 n m :

    2. P 4,95 ; 5,05 = 5,05 - 4,95 10 - 1 2 π sin ⁡ 2 π 10 5,05 - sin ⁡ 2 π 10 4,95

    Teremos:

    P 4,95 ; 5,05 = 0,010 + 0,010 = 0,020

  2. x 1 = 4,95 n m ; x 2 = 5,05 n m :

    3. P 1,95 ; 2,05 = 2,05 - 1,95 10 - 1 2 π sin ⁡ 2 π 10 2,05 - sin ⁡ 2 π 10 1,95

    Com muita calma e paciência, chegaremos em:

    P 1,95 ; 2,05 = 0,007

  3. x 1 = 9,90 n m ; x 2 = 10 n m :

    4. P 9,90 ; 10 = 10 - 9,90 10 - 1 2 π sin ⁡ 2 π - sin ⁡ 2 π 10 9,90

    Teremos:

    P 9,90 ; 10 = 7 × 10 - 6

    Força nessa peruca!! Tamo quase!! Bora!!!

  4. x 1 = 5 n m ; x 2 = 10 n m :

    5. Opaaa!! Nada de continhas nesse aqui... temos a metade da caixa... então ou está de um lado ou do outro...portanto a probabilidade é de 0,5 .... Ta comigo??

    Seguiimoss!!

    E finalmente a última:

  5. x 1 = L 3 ; x 2 = 2 L 3 :

Teremos o seguinte:

P L 3 ; 2 L 3 = L 2 3 - 1 3 L - 1 2 π sin ⁡ 2 π 3 - sin ⁡ 4 π 3

Finalmente.... chegaremos em:

P L 3 ; 2 L 3 = 0,61

Ufaaa!! Tá vivo?? Hahahaha

E isso é tudo!! Tá liberado pra ir tomar aquela água, aquele café porque essa foi tensa!!

Até a próxima!!

Resposta

Portanto:

  1. P = 0,020 ;
  2. P = 0,007 ;
  3. P = 7 × 10 - 6 ;
  4. P = 0,5 ;
  5. P = 0,61 ;
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