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Enunciado

Física - Halliday - Vol 4- Ed: 10º - Capítulo 39.4 - Ex. 30

Um elétron se encontra no estado fundamental de um poço de potencial bidimensional infinito na forma de um quadrado de lado L . Uma sonda quadrada, com uma área de 400   p m 2 , é instalada com o centro no ponto x = L / 8 , y = L / 8 . A probabilidade de que o elétron seja detectado é 0,0450 . Qual é o valor de L ?

Passo 1

Beleza, a questão dá para gente as dimensões da sonda, o ponto em que ela foi colocada e a probabilidade de encontrarmos o elétron naquele ponto. Vamos suar a equação de probabilidade para o caso do poço bidimensional:

p x , y = ψ n x , n y x , y 2 d x d y

Sendo que a função de onda é o produto das funções para cada eixo:

ψ n x , n y x , y = ψ n x x ψ n y y = 2 L x s e n n x π L x x 2 L y s e n n y π L y y

ψ n x , n y x , y = 4 L x L y s e n n x π L x x s e n n y π L y y

Substituindo ela na equação da probabilidade a gente tem:

p x , y = 4 L x L y s e n n x π L x x s e n n y π L y y 2 d x d y

p ( x , y ) = 4 L x L y s e n 2 n x π L x x s e n 2 n y π L y y d x d y

Passo 2

Como o poço é quadrado, L x = L y = L , ficamos com:

p ( x , y ) = 4 L 2 s e n 2 n x π L x s e n 2 n y π L y d x d y

Substituindo os diferenciais d x d y pela área da sonda, considerando que a densidade de probabilidade na região de pontos em volta do centro da sonda não muda:

p x , y = 4 L 2 s e n 2 n x π L x s e n 2 n y π L y 400   p m 2

Como o elétron está no estado fundamental n x = n y = 1 , o que fica:

p x , y = 4 L 2 s e n 2 π L x s e n 2 π L y 400   p m 2

E colocando as coordenadas ( L / 8 ;   L / 8 ) , onde a sonda foi posta:

p x , y = 4 L 2 s e n 2 π L L 8   s e n 2 π L L 8 400   p m 2

Simplificando:

p x , y = 4 L 2 s e n 2 π 8 s e n 2 π 8 400   p m 2 = 4 L 2 s e n 4 π 8 400   p m 2

Passo 3

Agora só isolarmos L :

L = 4 p ( x , y ) s e n 4 π 8 400   p m 2

E resolvermos:

L = 27,6   p m

Resposta

L = 27,6   p m

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