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Enunciado

Física - Halliday - Vol 4- Ed: 10º - Capítulo 39.4 - Ex. 25

O curral bidimensional infinito da Fig. 39-31 tem a forma de um quadrado de lado L = 150   n m . Um detector quadrado com 5,00   n m de lado e lados paralelos aos eixos x e y , é instalado com o centro no ponto ( 0,200 L ; 0,800 L ) . Qual é a probabilidade de que seja detectado um elétron q está no estado de energia E 1,3 ?

Passo 1

Vamos usar a equação de probabilidade:

p x , y = ψ n x , n y x , y 2 d x d y

Onde a função de onda ψ n x , n y x , y , é dada pelo produto das duas funções para cada dimensão:

ψ n x , n y x , y = ψ n x x ψ n y y = 2 L x s e n n x π L x x 2 L y s e n n y π L y y

ψ n x , n y x , y = 4 L x L y s e n n x π L x x s e n n y π L y y

Ficamos com:

p x , y = 4 L x L y s e n n x π L x x s e n n y π L y y 2 d x d y

p ( x , y ) = 4 L x L y s e n 2 n x π L x x s e n 2 n y π L y y d x d y

Passo 2

Como o detector tem 5,00   n m de lado, vamos substituir d x e d y pelos valores dos lados do detector e considerar que a densidade de probabilidade é constante nos pontos em torno do ponto dado:

p x , y = 4 L x L y s e n 2 n x π L x x s e n 2 n y π L y y ( 5,00   n m ) ( 5,00   n m )

Passo 3

O curral tem a forma de um quadrado com o lado dado pelo enunciado, a gente tem que L = L x = L y = 150   n m . Substituindo na equação:

p x , y = 4 5,00   n m 2 150   n m 2 s e n 2 n x π L x s e n 2 n y π L y

Passo 4

E como a questão pede a energia no nível n x = 1 e n y = 3 , a equação fica:

p x , y = 4 5,00   n m 2 150   n m 2 s e n 2 π L x s e n 2 3 π L y

Passo 5

Além disso, o centro do detector está no ponto ( 0,200 L ,   0,800 L ) , a equação fica:

p x , y = 4 5,00   n m 2 150   n m 2 s e n 2 π L 0,200 L s e n 2 3 π L 0,800 L

Simplificando os L :

p x , y = 4 5,00   n m 2 150   n m 2 s e n 2 0,200 π s e n 2 2,4 0 π

A probabilidade de encontrar o elétron será:

p x , y = 1,4 × 10 - 3

Resposta

p x , y = 1,4 × 10 - 3

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