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Enunciado

Física - Tipler - Vol 3- Ed: 6º - Capítulo 39.1 - Ex. 33

Se a energia cinética de uma partícula é igual a duas vezes sua energia de repouso, que porcentagem de erro é cometida usando p = mu para a magnitude de seu momento?

Passo 1

Opa, você por aqui?? Como vai?

Se liga, podemos usar E 2 = p 2 c 2 + m c 2 2 (Equação R-17) para encontrar o momento relativístico da partícula em termos de γ e o fato de que a energia cinética da partícula é igual a duas vezes sua energia de repouso para encontrar o erro cometido ao usar m v para o momento da partícula. Vamos lá?

Passo 2

Então, escrevendo o erro e ao usar p ' = m v para o momento da partícula:

e = p - p ' p = 1 - p ' p

Agora, podemos achar p , pela relação que vimos no passo anterior:

E 2 = p 2 c 2 + m c 2 2

E 2 - m c 2 2 = p 2 c 2

p 2 = E 2 - m c 2 2 c 2

p = E 2 - m c 2 2 c 2 = E 2 c 2 - m 2 c 2

Colocando m 2 c 2 em evidência:

p = m 2 c 2 E 2 m 2 c 4 - 1

Substituindo E = γ m c 2 :

p = m 2 c 2 γ 2 m 2 c 4 m 2 c 4 - 1

∴

p = m c γ 2 - 1

Passo 3

Agora, substituindo p e p ' na equação do erro:

e = 1 - m u m c γ 2 - 1

e = 1 - u c γ 2 - 1

Temos que, da definição de γ :

u c = 1 - 1 γ 2

Então, substituindo isso:

e = 1 - 1 - 1 γ 2 γ 2 - 1

Multiplicando em cima e embaixo por γ 2 - 1 :

e = 1 - 1 - 1 γ 2 γ 2 - 1 γ 2 - 1 γ 2 - 1

e = 1 - γ 2 - 1 - 1 + 1 γ 2 γ 2 - 1 = 1 - γ 2 - 2 + 1 γ 2 γ 2 - 1

Opa, se liga só nesse cara dentro da raiz. Ele pode ser fatorado pelo produto notável γ - 1 γ 2 :

e = 1 - γ - 1 γ 2 γ 2 - 1 = 1 - γ - 1 γ γ 2 - 1

Colocando 1 γ em evidência no numerador: e = 1 - 1 γ γ 2 - 1 γ 2 - 1

Simplificando:

e = 1 - 1 γ

Calma, vamos achar esse γ agora!

Passo 4

A energia cinética da partícula está relacionada à sua energia de repouso por:

K = γ - 1 m c 2

→

γ = 1 + K m c 2

Como a energia cinética é duas vezes a energia de repouso:

γ = 1 + 2 m c 2 m c 2 = 1 + 2 = 3

Substituindo isso no erro:

e = 1 - 1 3

∴

e = 0,667 = 66,7 %

Ufa!! Acabou!

Resposta

66,7 %

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