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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 7.5 - Ex. 37

A energia potencial entre dois átomos em uma molécula diatômica é dada por U r =   a r 12 -   b r 6 , onde r é a distância entre os átomos e a e b são constantes positivas. a) Determine a força F ( r ) que um átomo exerce sobre o outro em função de r . Faça dois gráficos, um para U ( r ) em função de r e outro para F ( r ) em função de r . b) Determine a distância entre os átomos para que haja equilíbrio. Esse equilíbrio é estável? c) Suponha que a distância entre os átomos seja igual à distância de equilíbrio encontrada no item (b). Qual é a energia mínima que deve ser fornecida para produzir dissociação da molécula, isto é, para separar os átomos até uma distância infinita? Esse valor denomina-se energia de dissociação da molécula. d) Para a molécula de CO, a distância de equilíbrio entre o átomo de carbono e o átomo de oxigênio é igual a 1,13 ×   10 - 10   m e a energia de dissociação é igual a 1,54 × 10 - 18 J por molécula. Calcule os valores das constantes a e b .

Passo 1

  1. Oi, galerinha! Tudo bom? Em uma molécula diatômica, temos dois átomos ligados. A energia potencial entre eles vai depender da distancia entre os dois núcleos e a carga deles. O problema forneceu a equação que descreve essa energia,

U r =   a r 12 -   b r 6

E agora queremos F r a partir de U r . Vamos lembrar que,

F r = - d U d r

Derivando U em relação de r teremos que

d U d r = a r 12 -   b r 6 '

d U d r = a r - 12 -   b r - 6 '

d U d r = - 12   a   r - 13 - - 6 b   r - 7  

d U d r =   - 12   a r 13 - - 6   b r 7 =   - 12   a r 13 + 6   b r 7

Logo,

F r = - - 12   a r 13 + 6   b r 7

F r = 12   a r 13 - 6   b r 7

Desta forma temos que graficamente, tanto U ( r ) quando F ( r ) podem ser representados por:

Passo 2

b) Para que haja equilíbrio, temos que a soma das forças que atuam sobre cada átomos seja zero. Como a força que cada um dos átomos sente é devida a presença do outro, apenas vamos trabalhar com as forças que atuam sobre apenas um deles. Desta forma temos que

F =   12   a r 13 -   6   b r 7 = 0

6 b r 6 = 12 a

Logo a solução de equilíbrio será

r 0 = 2 a b 1 / 6

Vamos ver que tipo de equilíbrio é esse. O ponto que zera F r é o ponto mínimo o máximo de U r , já que F é derivada de U . A gente marcou esse ponto no gráfico de U como r 0 .

Pelo gráfico, esse é um ponto de mínimo de U . Por isso, esse vai ser um equilíbrio estável. Assim, é o ponto onde temos menos energia.

Passo 3

c) Queremos a variação de energia para sair de r 1 = 2 a b 1 6 e chegar até r 2 → ∞ . Em

r = 2 a b 1 6

Temos

U = a r 12 - b r 6 =   - b 2 4 a

Já para o outro caso:

r →   ∞ ,   U = 0

Então temos que

Δ U = U 2 - U 1 = 0 - - b 2 4 a

Δ U = b 2 4 a

Passo 4

Ele deu os valores para essas grandezas que acabamos de achar. Temos a distância de equilíbrio

r 0 = 2 a b 1 6 = 1,13 × 10 - 10   m

Daí, jogando essa raiz para o outro lado

2 a b = 2,082 × 10 - 60   m 6  

Invertendo os dois lados e multiplicando os dois lados por 1 / 2

b 4 a = 2,402 × 10 59 m - 6

Ele deu também a energia de dissociação

Δ U = b 2 4 a = b b 4 a = 1,54 × 10 - 18   J

Ficamos com um sisteminha para resolver.

b b 4 a = 1,54 × 10 - 18   J

b 2,402 × 10 59 m - 6 = 1,54 × 10 - 18   J

Então temos que

b = 6,41 × 10 - 78   J ⋅ m 6

Depois podemos usar

2 a b = 2,082 × 10 - 60   m 6

a = b 2 2,082 × 10 - 60   m 6

a = 6,41 × 10 - 78 ⋅ m 6 2 2,082 × 10 - 60   m 6

a = 6,67 × 10 - 138 J ⋅ m 12

Resposta

a)   F r = 12   a r 13 - 6   b r 7

b) r 0 = 2 a b 1 / 6

c) Δ U = b 2 4 a

d) b = 6,41 × 10 - 78   J ⋅ m 6 e a = 6,67 × 10 - 138 J ⋅ m 12

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