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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.Exercício - Ex. 35

Equação de onda e ondas estacionárias.

  1. Mediante substituição direta, prove que y x , t = A E S s e n   k x s e n ω t é uma solução da equação da onda, equação 15.12, para v = ω / k .
  2. Explique a razão pela qual a relação v = ω / k deduzida para ondas progressivas também se aplica para ondas estacionárias.

Passo 1

Letra a)

Olá, tudo bem? Vamos começar relembrando qual é essa equação que o problema nos trás:

∂ 2 y x , t ∂ x 2 = 1 v 2 ∂ 2 y x , t ∂ t 2

Então temos que derivar duas vezes (tanto na posição, quanto no tempo) a solução dada e substituir ali em cima, certo?

Vamos começar, primeiro as derivadas espaciais:

∂ y ∂ x = A E S k cos ⁡ k x s e n ω t

∂ 2 y ∂ x 2 = - A E S k 2 s e n k x s e n ω t

E agora as derivadas temporais:

∂ y ∂ t = A E S ω s e n ( k x ) c o s ω t

∂ 2 y ∂ t 2 = - A E S ω 2 s e n k x s e n ω t

E agora vamos substituir na equação 15.12 :

- A E S k 2 s e n k x s e n ω t = 1 v 2 . - A E S ω 2 s e n k x s e n ω t

Cortando os termos semelhantes aos dois lados temos:

- k 2 = - ω 2 v 2

Ou seja:

v = ω k

E é exatamente o que o problema nos pede para provar =)

Passo 2

Letra b)

Se você der uma olhadinha na dedução das equações das ondas estacionárias verá que tais ondas são a superposição de ondas progressivas. Sendo assim, como a relação v = ω / k é aplicada para as ondas progressivas, ela será aplicável também para as ondas estacionárias.

Resposta

a )   v = ω k

b )   P o i s   u m a   o n d a   e s t a c i o n á r i a   é   a   s o m a   d e   o n d a s   p r o g r e s s i v a s

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