Enunciado
Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 12.1 - Ex. 37
Uma escada homogênea está apoiada contra uma parede vertical sem atrito. O coeficiente de atrito estático entre a escada e o piso é . Qual é o menor ângulo entre a escada e a horizontal para que a escada não escorregue?
Passo 1
Pelo enunciado, queremos determinar o menor ângulo para que a escada não escorregue, ou seja, fique paradinha em equilíbrio. As condições para um corpo rígido ficar em equilíbrio são:
Precisamos começar fazendo o diagrama de corpo livre da escada
Temos a força peso atuando no centro de massa da escada (sua metade), as forças normais que surgem do contato entre escada e parede e escada e solo . E para fechar temos a força de atrito entre escada e solo que impede que a escada deslize para a esquerda.
Nós demos um nome genérico ao comprimento da escada, chamamos de . E também chamamos o ângulo que a escada faz com a horizontal de .
Perceba que a gente escreveu que a força de atrito é máxima. Por que? Cara, como a gente quer o ângulo mínimo para que a escada não deslize, temos que a escada deve estar bem perto de deslizar, ou seja, na iminência do deslizamento.
Nesse momento, temos a força de atrito máxima, que tem essa fórmulinha:
Sendo que o enunciado já disse que , o coeficiente de atrito entre escada e solo, vale :
Agora pensa comigo: tudo está paradinho, né? Então podemos usar as equações de equilíbrio
A partir delas, conseguimos achar como pede o enunciado. Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar pelo equilíbrio de forças na horizontal e na vertical.
Considerando que forças positivas estão viradas para cima, o somatório de forças na vertical fica
Agora olhando para as forças horiozontais, considerando as forças positivas para a direita, temos que
Lembrando que vimos no passo 1 que , temos
Sendo que vimos que ali no somatório de forças na vertical
Resumindo, achamos que
Passo 3
Falta usar uma outra equação de equilíbrio: a de torques! Afinal, a escada não está girando. Portanto o somatório de torques será nulo.
Vamos calcular o somatório de torques em relação ao ponto onde a escada encosta no piso, que chamaremos de ponto . E a gente vai considerar que se a força tende a girar a escada no sentido anti-horário, o torque gerado por ela é positivo, caso contrário, negativo.
O torque vai ser dado pelo produto entre a força e , onde é uma distância entre a linha de ação da força e o ponto onde queremos o torque. e a força precisam ser perpendiculares.
Para começar, nota o seguinte, para as forças e é nulo por que elas estão sendo aplicadas no eixo de rotação! Por esse motivo, elas não contribuem para o torque!
Vamos marcar o de cada força restante no nosso diagrama de corpo livre
Percebe que é a distância perpendicular entre a linha de aplicação de e o eixo de rotação que passa pelo ponto . E essa força tende a girar a escada no sentido horário, então o torque fica negativo e é
Para achar usamos o triângulo que pode ser encontrado na figura
Temos um triângulo retângulo, então podemos escrever
Aí o torque fica
Agora para a força , a distância entre sua linha de ação e é e ela tende a girar nossa escada no sentido anti-horário, então temos
E para achar , usamos o triângulo
Usando trigonometria
O torque fica
Mas lembra que no passo anterioe, achamos que :
Passo 4
Show, agora vamos montar a equação de equilíbrio
Queremos . Então vamos isolá-lo. Dividindo tudo por
Isolando
Portanto,