Uma escada, de massa desprezível e comprimento L , está apoiada contra uma parede lisa, formando um ângulo θ com o piso horizontal. O coeficiente de atrito entre a escada e o piso é μ . Um homem sobe a escada. Até que altura h ele pode chegar antes de a escada escorregar?

h = L ∙ μ ∙ tan ⁡ θ ∙ sen ⁡ θ

Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 12.1 - Ex. 33

Uma escada, de massa desprezível e comprimento , está apoiada contra uma parede lisa, formando um ângulo com o piso horizontal. O coeficiente de atrito entre a escada e o piso é . Um homem sobe a escada. Até que altura ele pode chegar antes de a escada escorregar?

Passo 1

Oi, gente! Ele quer saber até que altura uma pessoa pode subir numa escada que está inclinada e apoiada na parede. Vamos começar fazendo o diagrama de corpo livre dessa situação, usando os dados que ele deu.

Pra começo de conversa, pensa aqui comigo. Se uma escada tem massa desprezível e está em repouso, parada sob uma superfície, o diagrama de forças da escada sem ninguém em cima é:

Opa, sem forças? Bem, se não tem peso (já que o enunciado disse que a massa da escada é desprezível), não tem como ter normal, logo nenhuma força vertical. Se está em repouso, não há nenhuma força na horizontal também. Então aí a gente só representou o comprimento da escada e o ângulo que ela faz com a horizontal .

Agora, se um homem sobe na escada, o sistema (homem+escada) ganha massa. Considerando:

Massa do homem
Aceleração da Gravidade
Peso do homem
Altura em que o homem está em relação ao solo

Teremos:

Só que, se tem peso e a escada não está afundando no chão ou na parede, tem que ter força normal! A reação da parede é horizontal, da direita pra esquerda, e a do chão é vertical, de baixo pra cima.

Por fim, como o sistema está em repouso, não queremos que a escada escorregue. Se ela escorregar, a ponta que tá no chão vai se mover da direita pra esquerda. Quem impede esse movimento? Exatamente a força de atrito! O diagrama de forças final será:

Perceba que não há força de atrito na parede porque o enunciado diz que a parede é lisa, então ela não oferece atrito.

A ideia aqui é perceber que a escada está paradinha, então podemos usar as equações de equilíbrio nas forças que representamos no diagrama

E vamos usa-las para achar o valor de em função dos dados que ele deu. Vamos!

Passo 2

Vamos começar pelo equilíbrio de forças na horizontal e na vertical.

Considerando que forças positivas estão viradas para cima, o somatório de forças na vertical fica

Agora olhando para as forças horizontais, considerando as forças positivas para a direita, temos que

Quem é ? Cara, como a gente quer a altura limite para a escada começar a escorregar, a gente está na situação de iminência do deslizamento. Nessa situação a força de atrito é máxima e vai valer

Como já temos :

E pelo somatório de forças em :

Já temos expressões para todas as nossas forças. Vamos partir para achar .

Passo 3

Para isso vamos usar mais uma equação de equilíbrio: a de torques! Afinal, a escada não está girando. Portanto o somatório de torques será nulo.

Vamos calcular o somatório de torques em relação ao ponto onde a escada encosta no piso, que chamaremos de ponto . E a gente vai considerar que se a força tende a girar a escada no sentido anti-horário, o torque gerado por ela é positivo, caso contrário, negativo.

O torque vai ser dado pelo produto entre a força e , onde é uma distância entre a linha de ação da força e o ponto onde queremos o torque. Sendo que e a força precisam ser perpendiculares.

Para começar, note o seguinte: para as forças e é nulo por que elas estão sendo aplicadas no eixo de rotação! Por esse motivo, elas não contribuem para o torque!

Vamos marcar o de cada força restante no nosso diagrama de corpo livre

Percebe que é a distância perpendicular entre a linha de aplicação de e o eixo de rotação que passa pelo ponto . E essa força tende a girar a escada no sentido horário, então o torque fica negativo e é