Visando participar de uma equipe de atletas, você e seu amigo Carlos resolver praticar com halteres. Cada um de vocês está usando “A Besta”, um modelo constituído de duas esferas, cada uma de 500 g e massa e 5,00 c m de raio, presas às extremidades de uma barra uniforme de 30,0 c m e 60,0 g de massa (figura 9-47). Vocês desejam determinar o momento de inércia I da Besta em relação a um eixo perpendicular à barra, que passa pelo seu centro. Carlos se vale da aproximação que trata as duas esferas como partículas pontuais distantes 20,0 c m do eixo de rotação e considera desprezível a massa da barra. Você, no entanto, resolve fazer um cálculo exato. (a) Compare os dois resultados. (Dê a diferença percentual entre eles.) (b) Suponha as esferas substituídas por duas cascas esféricas finas, cada uma com a mesma massa das anteriores, maciças. Forneça um argumento conceitual para explicar como esta substituição causa, ou não causa, uma alteração no valor de I .

Passo 1

Bora lá, meu chapa, vamos aqui calcular o momento de inércia dessa situação.

O nosso parceiro Carlos considerou que o sistema é formado por duas partículas iguais, e só. É um cara bem simples, não é mesmo? Para ele, o momento de inércia vai ser:

I C = ∑ m r 2 = 2 m r 2

I C = 2 × 0.500 k g × 0.200 m 2 = 0.04   k g ⋅ m 2

Passo 2

Enquanto isso, nós, que estudamos bastante física, vamos calcular o momento de inércia com mais rigor, considerando o sistema como uma barra e duas esferas. Só que tem uma coisa: o eixo não passa pelo centro de massa das esferas, então vamos ter que usar o teorema dos eixos paralelos (de Steiner) pra calcular.

I = I b a r r a + 2 I e s f e r a

O momento de inércia de uma barra, com relação a um eixo que passa pelo seu centro de massa é:

I b a r r a = 1 2 M L 2

Para as esferas:

I e s f e r a = I c m + m h 2

I e s f e r a = 2 5 m R 2 + m h 2

Logo:

I = 1 12 M L 2 + 2 2 5 m R 2 + m h 2

Passo 3

Substituindo valores, vamos obter:

I = 1 12 0.06 0.3 2 + 2 2 5 0.5 0.05 2 + 0.5 0.2 2

I = 0.0415   k g ⋅ m 2

A diferença percentual pra estimativa do nosso amigo Carlos é de:

d = I - I c I = 0.0415 - 0.0400 0.0415 = 3.6 %

Ou seja, até que não fez tão mal usar a aproximação... e a gente zoando o Carlinhos...

Passo 4

b) A inércia da rotação iria aumentar, já que o I do centro e massa de uma esfera oca é maior que o de uma esfera maciça.

Resposta

  1. d = 3.6 %
  2. A inércia da rotação iria aumentar, já que o I do centro e massa de uma esfera oca é maior que o de uma esfera maciça.
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