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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 66

O rolo de uma impressora gira um ângulo θ t = γ t 2 - β t 3 , onde γ = 3,20   r a d / s 2 e β = 0,500   r a d / s 3 . a) Calcule a velocidade angular do rolo em função do tempo. b) Calcule a aceleração angular do rolo em função do tempo. c) Qual é a velocidade angular positiva máxima e para qual valor de t isso ocorre?

Passo 1

Fala aí! Como vai?

Nesse problema temos um rolo de uma impressora gira um ângulo θ t = γ t 2 - β t 3 , onde γ = 3,20   r a d / s 2 e β = 0,500   r a d / s 3 .

A partir daí queremos calcular a velocidade angular do rolo em função do tempo, a aceleração angular do rolo em função do tempo e também queremos saber qual é a velocidade angular positiva máxima e para qual valor de t isso ocorre.

Sabemos que a definição da velocidade angular instantânea, ω , é:

ω = lim ∆ t → 0 ⁡ ∆ θ ∆ t = d θ d t

E a definição da aceleração angular instantane, α , é:

α = lim ∆ t → 0 ⁡ ∆ ω ∆ t = d ω d t

Enquanto α > 0 a aceleração ω   aumenta.

No momento em que α = o , ou seja, constante, ω está em está em seu valor positivo máximo e começa a diminuir quando α torna-se negstivo.

Nós temos a função:

θ t = γ t 2 - β t 3

Onde: γ = 3,20   r a d / s 2 e   β = 0,500   r a d / s 3

Veja só!

Passo 2

  1. Então, para encontrarmos a velocodade angular em função do tempo, precisamos derivar essa função, dessa forma:

    2. ω = d θ d t = d γ t 2 - β t 3 d t

    ω = 2 γ t - 3 β t 2

    Tranquilo até aqui?

    Passo 3

  2. E para encontrarmos a aceleração angular, derivamos a função da velocidade, ω .

    3. Dessa forma.

    α = d ω d t = d 2 γ t - 3 β t 2 d t

    α = 2 γ - 6 β t

    Show?

    Passo 4

  3. A velocidade angular máxima ocorre quando α = 0 , dessa forma:

2 γ - 6 β t = 0

Isso implica que:

t = 2 γ 6 β = γ 3 β = 3,20   r a d / s 2 3 ⋅ 0,500   r a d / s 3 = 2,133 s

Agora que encontramos t = 2,133 s , vamos substituir este valor na velocidade angular ω = 2 γ t - 3 β t 2 que encontramos no item (b). Assim,

ω = 2 ⋅ 3,20 r a d s 2 ⋅ 2,133 s - 3 ⋅ 0,500 r a d s 3 ⋅ 2,133 s 2

ω = 6,83 r a d / s

A velocidade angular positiva máxima é de 6,83 r a d / s e ocorre em 2,133 s .

E aí! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

  1. ω = 2 γ t - 3 β t 2
  2. α = 2 γ - 6 β t
  3. A velocidade angular positiva máxima é de 6,83 r a d / s e ocorre em 2,133 s .
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