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Enunciado

Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 24.1 - Ex. 24

Uma esfera metálica sólida tem raio de 10,0   c m e uma casca metálica esférica concêntrica tem um raio interno de 10,5   c m . A esfera sólida tem uma carga de 5,00   n C .

(a) Estime o valor da energia armazenada no campo elétrico na região entre as esferas. Dica: Você pode tratar as esferas essencialmente como lâminas planas e paralelas separadas por 0,5   c m .

(b) Estime o valor da capacitância deste sistema de duas esferas.

(c) Estime o valor da energia total armazenada no campo elétrico usando U   = 1 2 Q 2 / C e compare com sua resposta para a Parte (a).

Passo 1

L e t r a   A :

Bem, o problema aqui está nos pedindo para calcular a energia U armazenada dentro da região esférica. A forma mais comum de fazer isso seria usando a equação...

U   = 1 2 Q 2 C  

Porém, já vamos usar essa fórmula na letra C. Então como que a gente pode fazer aqui na Letra A?

Bem... Aqui a gente vai fazer usando a forma raiz de se calcular energia total: primeiro a gente pega a densidade de energia u e e depois a gente multiplica pelo volume entre as placas:

U = u e ⋅ V o l

“Tá, mas quem é a densidade de energia nesse caso?”

Passo 2

A densidade de energia armazenada numa região onde o campo elétrico é E pode ser encontrada por...

u e = 1 2 ε 0 E 2

Só que o campo elétrico aqui pode ser encontrado considerando que as esferas nada mais são do que duas placas paralelas. O campo elétrico de duas chapas paralelas pode ser dado por...

E = σ ε 0

Onde σ é a densidade superficial de carga na placa, isto é, é a quantidade de carga Q na placa dividida pela área A ...

E = Q ε 0 ⋅ A

No nosso caso, a placa é uma esfera circular de raio r = 10   c m , então a área será...

E = Q ε 0 4 π r 2     →

Então dá para estimar o campo elétrico dentro da esfera com os dados do enunciado...

E = 5 ⋅ 10 - 9 8,85 ⋅ 10 - 12 4 π 10 ⋅ 10 - 2 2     →

E = 5 ⋅ 10 - 9 8,85 ⋅ 10 - 12 4 π 10 2 10 - 4     →

E = 5 ⋅ 10 - 9 8,85 ⋅ 10 - 14 4 π     →

E = 0,0449 ⋅ 10 5 →

E = 4 , 49 ⋅ 10 3   V / m

Passo 3

Com o campo elétrico calculado, podemos estimar o valor da densidade de energia...

u e = 1 2 ε 0 E 2   →

u e = 1 2 8,85 ⋅ 10 - 12 4,49 ⋅ 10 3 2   →

u e = 1 2 8,85 ⋅ 10 - 12 4,49 2 ⋅ 10 6   →

u e = 1 2 8,85 ⋅ 4,49 2 ⋅ 10 - 6   →

Simplificando as continhas com uma calculadora...

u e = 89,20 ⋅ 10 - 6   →

Ou ainda...

u e = 89,20   μ J / m 3

Passo 4

Agora, queremos mesmo estimar o valor da energia total guardado no campo elétrico...

U = u e ⋅ V o l

Pra isso precisamos determinar o volume entre a casca e a esfera (volume do vão entre elas). O problema nos pediu para considerar as cascas esféricas como sendo duas chapas paralelas afastadas por d = 0,5   c m . O Volume dentro delas então será...

V o l = A ⋅ d   →

V o l = 4 π r 2 d

Como o raio da esfera é de 10   c m e a distância entre elas é 0,5   c m ...

V o l = π 10 ⋅ 10 - 2 2 ⋅ 0,5 ⋅ 10 - 2   →

V o l = π 10 2 ⋅ 10 - 4 ⋅ 0,5 ⋅ 10 - 2   →

V o l = 1,57 ⋅ 10 - 4  

Logo, a energia dentro desse capacitor vai ser aproximadamente...

U = u e ⋅ V o l   →

U = 89,20 ⋅ 10 - 6 ⋅ 1,57 ⋅ 10 - 4   →

U = 140 ⋅ 10 - 10   →

U = 1 , 40 ⋅ 10 - 1 2   →

Ou ainda...

U = 1,40   p J

Passo 5

L e t r a   B :

Agora o problema nos pediu para calcular o valor da capacitância C :

C = ε 0 A d

Ou ainda...

C = ε 0   V o l d 2

Como d = 0,5   c m ...

C = 8,85 ⋅ 10 - 12 ⋅ 1,57 ⋅ 10 - 4 0,5 ⋅ 10 - 2 2   →

C = 8,85 ⋅ 1,57 ⋅ 10 - 16 0,5 2 ⋅ 10 - 4   →

C = 8,85 ⋅ 1,57 0,5 2 ⋅ 10 - 12   →

C = 55,57 ⋅ 10 - 12   →

Ou ainda...

C = 55,57   p F

Passo 6

L e t r a   C :

Nesse item, temos que buscar o valor da energia dentro do capacitor, mas usando dessa vez...

U   = 1 2 Q 2 C     →

U   = 1 2 5,00 ⋅ 10 - 9 2 55,57 ⋅ 10 - 12   →

U   = 1 2 5,00 2 ⋅ 10 - 18 55,57 ⋅ 10 - 12   →

U   = 1 2 5,00 2 55,57 ⋅ 10 - 6   →

Resolvendo esse negócio aí...

U = 0,2249 ⋅ 10 - 6   J

Resposta

Letra A:

U = 1,40   p J

Letra B:

C = 55,57   p F

Letra C:

U = 0,2249 ⋅ 10 - 6   J

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