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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 3 - Eletromagnetismo - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 28.10 - Ex. 61

Uma espira circular com 8,0 cm de raio é percorrida por uma corrente de 0,20 A . Um vetor de comprimento unitário, paralelo ao momento dipolar μ → da espira, é dado por 0,60 i ^ – 0,80 j ^ . (Esse vetor unitário indica a orientação do vetor momento dipolar magnético.) Se a espira é submetida a um campo magnético uniforme dado por B = 0,25 T i ^ + 0,30 T k ^ , determine (a) o torque sobre a espira (em termos dos vetores unitários) e (b) a energia potencial magnética da espira.

Passo 1

Aqui temos uma espira circular que é percorrida por uma corrente, e temos a direção e o modulo do seu momento de dipolo.

Se a espira estiver em um campo magnético qual o torque sobre ela e a energia potencial magnética?

O momento magnético é μ → = μ 0,60 i ^ - 0,80 j ^ .

O enunciado deu para nós a direção do vetor momento magnético, agora precisamos encontrar o módulo μ .

Da teoria, temos que o momento magnético é dado por:

μ = i A = i π r 2 = 0,20 A π 0,08 m 2 = 4,02 × 10 - 3 A . m 2

onde i é a corrente e A é a área.

Sendo assim, o nosso momento de dipolo será:

μ → = 4,02 × 10 - 3 0,6 i ^ - 0,8 j ^ = 2,41 i ^ - 3,22 j ^ × 10 - 3   A . m 2

Passo 2

(a) O torque é dado pelo seguinte produto vetorial:

τ → = μ → × B →

Aonde B → é o nosso campo magnético que foi dado como: B → = 0,25 T i ^ + 0,30 T k ^

Para resolver esse produto vetorial, podemos encontrar o determinante da seguinte matriz:

τ → = det ⁡ i ^ j ^ k ^ 2,41 × 10 - 3 - 3,22 × 10 - 3 0 0,25 0 0,30

Sendo assim, teremos:

τ → = - 3,22 × 10 - 3 . 0,30 . i ^ + 0 + 0   - 0,25 . - 3,22 × 10 - 3 . k ^ + 0 + 0,3.2,41 × 10 - 3 . j ^

Fazendo as multiplicações...

τ → = - 0,97 × 10 - 3 i ^ + 0,81 × 10 - 3 k ^ - 0,72 × 10 - 3 j ^

Agora, só deixando bonito e em ordem:

τ → = - 0,97 × 10 - 3 N ⋅ m i ^ - 0,72 × 10 - 3 N ⋅ m j ^ + 0,81 × 10 - 3 N ⋅ m k ^

Passo 3

Pra fechar, vamos fazer a letra b)

A energia potencial magnética da espira é

U = - μ → . B →

Produto escalar é mais tranquilo, é só multiplicar termo a termo e depois somar...

U = - μ x . B x + μ y . B y + μ z . B z

U = - 2,41 × 10 - 3 . 0,25 + - 3,22 × 10 - 3 . 0 + 0.0,3

Ficando apenas então com:

U = - 2,41 × 10 - 3 . 0,25

U = - 0,60 × 10 - 3 J

A gente é bom mesmo nesse negócio, né... Arrasamos

Resposta

(a) τ → = - 0,9 7 × 10 - 3 N ⋅ m i ^ - 0,72 × 10 - 3 N ⋅ m j ^ + 0,81 × 10 - 3 N ⋅ m k ^ .

(b) U = - 0,6 0 × 10 - 3 J

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