Estrelas de nêutrons e restos de supernovas. A nebulosa do Caranguejo é uma nuvem de gás luminoso que possui uma extensão de 10 anos-luz, localizada a uma distância aproximadamente igual a 6500 anos-luz da Terra (Figura 9.39). São os restos de uma explosão de uma supernova, observada da Terra no ano de 1054. A nebulosa do Caranguejo libera energia com uma taxa aproximada de 5 ⋅ 10 31   W , cerca de 10 5 vezes maior do que a taxa de emissão de energia do Sol. A nebulosa do Caranguejo obtém essa energia da energia cinética da rotação muito rápida de uma estrela de nêutrons que existe em seu centro. Esse objeto completa um giro a cada 0,0331 s , e esse período cresce 4,22 ⋅ 10 - 31 s em cada segundo. a) Supondo que a taxa de energia perdida pela estrela de nêutrons seja igual à taxa com a qual a energia é libertada pela nebulosa, calcule o momento de inércia da estrela de nêutrons. b) Teorias de supernovas afirmam que a estrela de nêutrons na nebulosa do Caranguejo possui massa aproximadamente igual a 1,4 vezes a massa do Sol. Modelando a estrela de nêutrons como uma esfera uniforme, calcule seu raio em quilômetros. c) Qual é a velocidade linear de um ponto sobre o equador da estrela de nêutrons? Compare o resultado com a velocidade da luz. d) Suponha que a densidade da estrela de nêutrons seja uniforme e calcule sua densidade. Compare o resultado com a densidade de uma rocha comum (3000 kg/ m 3 ) e com a densidade do núcleo de um átomo (cerca de 10 17 kg/ m 3 ). Justifique a afirmação de que uma estrela de nêutrons é essencialmente um enorme núcleo atômico.

Passo 1

O enunciado nos dá uma breve explicação de como é o funcionamento dentro da nebulosa. Para resolver o problema usaremos algumas relações da energia cinética com o momento de inércia.

Passo 2

  1. Inicialmente precisamos relacionar a energia cinética com o momento de inércia e com o período da estrela. Temos que a energia cinética de rotação é dada por:
  2. K = 1 2 ⋅ I ⋅ ω 2

    E temos que ω = 2 ⋅ π T , onde T é o período da estrela. Assim, a relação acima fica da seguinte forma:

    K = 1 2 ⋅ I ⋅ 4 ⋅ π 2 T 2 = 2 ⋅ I ⋅ π 2 T 2

    Se derivarmos a energia em relação ao tempo, teremos a taxa com que a energia será dissipada pela estrela. Fazendo então d K d t , temos:

    d K d t = - 4 ⋅ I ⋅ π 2 T 3 ⋅ d T d t

    Onde d T d t é a taxa com que o período aumenta em cada segundo. Como queremos o momento de inércia, temos que isolar I e substituir os valores dados pelo enunciado. Logo:

    I = - T 3 ⋅ d K d t ⋅ d t d T ⋅ 1 4 π 2

    I = - 0.0331   s 3 ⋅ - 5 ⋅ 10 31   W ⋅ 1   s 4 ⋅ π 2 ⋅ 4.22 ⋅ 10 - 13   s = 1.09 ⋅ 10 38 k g / m 2

    Passo 3

  3. Utilizando a relação do momento de inércia podemos encontrar o raio da “esfera”. Fazendo então
  4. I = 2 5 ⋅ M ⋅ R 2

    R = 5 ⋅ I 2 ⋅ M = 5 ⋅ 1.09 ⋅ 10 38 k g / m 2 2 ⋅ 1.4 ⋅ ( 1.99 ⋅ 10 30   k g ) = 9.9 ⋅ 10 3   m  

    Passo 4

  5. Precisamos descobrir a velocidade tangencial a estrela. Partindo da equação do momento angular que é ω = 2 ⋅ π T , temos que v = ω R , assim, pegando um ponto no equador, temos que a velocidade tangencial é dada por:
  6. v = 2 ⋅ π ⋅ R T = 2 ⋅ π ⋅ 9.9 ⋅ 10 3 m ( 0.0331   s ) = 1.9 ⋅ 10 6 m / s = 6.3 ⋅ 10 - 3 ⋅ c

    Passo 5

  7. O cálculo da densidade é dado pela seguinte relação:

ρ = M V = M 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 = 1.4 ⋅ ( 1.99 ⋅ 10 30   k g ) 4 3 ⋅ π ⋅ ( 9.9 ⋅ 10 3 ) 3 = 6.9 ⋅ 10 17   k g / m 3

Comparando com os valores da densidade de uma rocha e de um átomo, percebemos que é muito maior que o de uma rocha, mas muito próximo do de um átomo, na mesma ordem de grandeza. Fazendo jus a afirmação de que uma estrela é essencialmente um enorme núcleo de átomos!

Resposta

a) 1.09 ⋅ 10 38 k g / m 2

b) 9.9 ⋅ 10 3   m  

c) 6.3 ⋅ 10 - 3 ⋅ c

d) 6.9 ⋅ 10 17   k g / m 3

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