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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 10.1 - Ex. 58

A separação de equilíbrio entre os núcleos da molécula de nitrogênio ( N 2 ) é 0,110 n m e a massa de cada núcleo de nitrogênio é 14,0 u , onde u = 1,66 × 10 - 27 k g . Para as energias rotacionais, a energia total é devida à energia cinética de rotação. (a) Use uma aproximação de haltere rígido de duas massas pontuais iguais para a molécula de nitrogênio e calcule o momento de inércia em relação ao seu centro de massa. (b) Determine a energia E l , dos três níveis mais baixos de energia, usando E = K l = l l + 1 h 2 2 I . (c) Moléculas emitem uma partícula (ou quantum) de luz chamada de fóton, quando sofrem uma transição de um estado mais alto para um estado mais baixo de energia. Determine a energia de um fóton emitido quando uma molécula de nitrogênio de cai do estado l = 2 para o estado l = 1 . Fótons de luz visível possuem, individualmente, energia entre 2 e 3   e V . Esse fóton está na região visível?

Passo 1

  1. Olha, meu amigo, se o enunciado dá uma sugestão, é ela que a gente segue! Ele mandou a gente considerar a molécula como um halter, então vamos considerar, que a gente não é bobo.

    2. Para a molécula:

    I N 2 = ∑ m r 2 = m N r 2 + m N r 2   = 2 m N r 2

    Substituindo os valores:

    I N 2 = 2 14 × 1.66 × 10 - 27 k g 0.110 × 10 - 9 m 2 2

    I N 2 = 1.41 × 10 - 46 k g ⋅ m 2

    Passo 2

  2. Agora vamos usar aquela expressão da energia que vimos lá na teoria, pra relacionar a energia rotacional!

    3. E l = K l = l l + 1 E 0

    E 0 = h - 2 2 I N 2

    Substituindo valores:

    E 0 = 1.055 × 10 - 34 J s 2 2 × 1.406 × 10 - 46 k g ⋅ m 2 = 3.958 × 10 - 23 J

    Agora é só dividir pela carga do elétron pra achar a energia em elétron-volt.

    E 0 = 3.958 × 10 - 23 J 1.6 × 10 - 19 J e V = 0.2474 m e V

    Então, para o estado fundamental:

    E 0 = 0.2474 m e V

    Para l = 1 :

    E 1 = 1 1 + 1 0.2474 m e V

    E 1 = 0.495 m e V

    Para l = 2 :

    E 2 = 2 2 + 1 0.2474 m e V

    E 2 = 1.48 m e V

    Passo 3

  3. Para acharmos a energia do fóton emitido quando a molécula de energia passa do estado l = 2 para l = 1 é:

Δ E = E 2 - E 1

Δ E = 1.48 - 0.495

Δ E = 0.99 m e V

Passo 2

Ele nos diz que fótons visíveis têm energia de 2 a 3 e V . Não é o caso, e então não é visível. Olha aí outro jeito de a gente determinar isso:

A gente tem que ver se essa energia é suficiente para gerar radiação no especto do visível. Mas essa coisa de visível, ultra violeta, raios-X, é tudo em função do comprimento de onda! Então vamos achar o comprimento de onda do fóton emitido:

Δ E = h f = h c λ

λ = h c Δ E

λ = 6.64 × 10 - 34 × 3 × 10 8 0.99 × 10 - 3 × 1.60 × 10 - 19

λ = 1.26 × 10 - 5 m

O espectro visível vai de 400 n m até 800 n m , e então, como λ não está nesse intervalo, a radiação não é visível!

Resposta

  1. I N 2 = 1.41 × 10 - 46 k g ⋅ m 2
  2. E 0 = 0.2474 m e V , E 1 = 0.495 m e V , E 2 = 1.48 m e V
  3. E f ó t o n = 0.99 m e V . Não está no espectro visível.
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