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Enunciado

Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 21.1 - Ex. 36

A estrutura molécula N H 3 é aproximadamente a de um tetraedro equilátero, onde três íons H + formam a base e um íon N - 3 está no ápice do tetraedro. O comprimento de cada lado é 1,64 × 10 - 10   m . Calcule a força elétrica exercida em cada íon.

Passo 1

Inicialmente, note que os módulos das forças são simples de se calcular. Já que todas estão a uma mesma distância uma da outra, segue que

F = k q 1 q 2 a 2

Note que a carga do íon N - 3 é - 3 e e a carga do H + é + e . Sendo assim, temos que

F = 9 × 10 9 λ ⋅ 1,6 × 10 - 19 1,6 × 10 - 19 1,64 × 10 - 10 2 = 8,56 × 10 - 9 λ     N

onde λ = - 3 se estivermos calculando a força entre H + e N - 3 e λ = 1 se estivemos calculando a força entre H + e H + .

Passo 2

O que é mais complicado é determinarmos a direção dessas forças. Para tal, podemos nos valer das coordenadas. Podemos pensar que a base do tetraedro é:

R 1 = - a 2 , 0,0 R 2 = a 2 , 0,0 R 3 = 0 , 3 2 a , 0 R 4 = 0 , 3 6 a , 6 3 a

Cada um desses vértices será a posição de uma carga, sendo o vértice R 4 ocupado pelo N - 3 . Veja:

Passo 3

Por simetria, as forças exercidas em cada íon H + são iguais. Portanto, vamos calcular apenas uma dessas forças. Para isso, vamos calcular os vetores posição relativa de cada carga.

  • Entre 1 e 2 :

    • r ^ 12 = R → 1 - R → 2 R → 1 - R → 2 = - a ,   0,0 - a , 0,0 = - 1,0 , 0

  • Entre 1 e 3 :

    • r ^ 13 = R → 1 - R → 3 R → 1 - R → 3 = - a 2 , - 3 2 a , 0 - a 2 , 3 2 a ,   0 = - 1 2 , - 3 2 , 0

  • Entre 1 e 4 :

r ^ 14 = R → 1 - R → 4 R → 1 - R → 4 = - a 2 , - 3 6 a , - 6 3 a - a 2 ,   - 3 6 a ,   - 6 3 a = - 1 2 , - 3 6 , - 6 3

Portanto, temos que a força em 1 é:

F → 1 = 8,56 × 10 - 9 r ^ 12 + r ^ 13 - 3 r ^ 14 F → 1 = 8,56 × 10 - 9 0 ,   0 , 6 F → 1 = 8,56 × 10 - 9 6   k ^ = 2,10 × 10 - 8 N   k ^

Passo 4

Assim, F → 2 = F → 3 = F → 1 = 2,10 × 10 - 8   N   k ^ . A condição de equilíbrio da molécula é que:

F → 1 + F → 2 + F → 3 + F → 4 = 0 ∴ F → 4 = - 3 F → 1 F → 4 = - 6,30 × 10 8   N   k ^

Resposta

No H + : 6,30 × 10 8   N ; No N 3 - : 2,10 × 10 - 8   N .

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