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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 84

Exatamente uma volta de uma corda flexível de massa m é enrolada na periferia de um cilindro uniforme maciço de massa M e raio R. O cilindro gira sem atrito em torno de um eixo horizontal ao longo do seu eixo. Uma das extremidades da corda está presa ao cilindro. O cilindro começa a girar com velocidade angular ω 0 . Depois de uma revolução, a corda se desenrolou e nesse instante ela está pendurada verticalmente tangente ao cilindro. Calcule a velocidade angular do cilindro e a velocidade linear da extremidade inferior da corda nesse instante. Despreze a espessura da corda. (Sugestão: Use a Equação (9.18).

Passo 1

E aí, pessoal!

Considerando que o zero de energia potencial gravitacional está definido no eixo principal do cilindro, a energia potencial inicial será nula (a corda é enrolada em um círculo com o centro no eixo).

Quando a corda se desenrola, seu centro de massa fica a uma distância π R abaixo do eixo, uma vez que o comprimento do cabo é 2 π R .

Inicialmente, cada parte da corda está se movendo com a velocidade ω 0 R , e quando a corda se desenrola, e o cilindro tem velocidade angular ω , a velocidade do cabo é ω R (a extremidade superior do cabo tem a mesma velocidade tangencial na borda do cilindro).

Para um cilindro uniforme que gira em torno do seu eixo de simetria:

I = 1 2 M R 2

Veja só!

Passo 2

Por conservação de energia, temos que E i = E f , logo teremos que:

K i = K f + U f

Em um primeiro momento, só temos o cilindro com a corda enrolada girando, logo a energia cinética do sistema é a rotacional, ou seja

K i = I ω 0 2 2 + m v 2 2 = M R 2 ω 0 2 4 + m R 2 ω 0 2 2

K i = M 4 + m 2 R ω 0 2

Onde sabemos que v = R ω

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Como estamos analisando até o momento em que toda corda se desenrola do cilindro, podemos dizer que a energia cinética final da corda também pode ser entendida apenas pela energia rotacional. Com isso teremos que:

K f = M 4 + m 2 R 2 ω 2

e a Energia Potencial Gravitacional

U f = - m g π R

Show?

Passo 4

Igualando os termos e isolando ω , temos que a velocidade final do cilindro será

ω = ω 0 2 + 4 π m g / R M + 2 m

e como sabemos que a velocidade da corda está diretamente relacionada com a do cilinro por v = ω R

v = ω 0 2 + 4 π m g / R M + 2 m R

E aí! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

Velocidade Final do Cilindro

ω = ω 0 2 + 4 π m g / R M + 2 m

Velocidade Linear final da extremidade da corda

ω = ω 0 2 + 4 π m g / R M + 2 m

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