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Enunciado

Física - Curso de Física Básica - Mecânica Volume 1 - 5ª Edição - Herch Moysés Nussenzveig- Ed: 5º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 12

Generalize o resultado do problema anterior, mostrando que um projétil lançado do chão com uma velocidade inicial v 0   pode atingir um ponto situado à distância x e à altura y para dois ângulos de elevação diferentes, contanto que o ponto(x,y) esteja abaixo da “parábola de segurança”

y x = 1 2 A m - x 2 A m

Passo 1

Nessa questão a gente só tem que mostrar que existem 2 ângulos de lançamento para um mesmo ponto qualquer da trajetória. Já fizemos isso em outras questões com dados do problema, só precisamos formalizar um pouquinho de nada. Vamos começar com as equações básicas do movimento oblíquo.

x = v x t   y = v 0 y t - g 2 t 2  

→

t = x v x  

→

y x = v o y v 0 x x - g 2 x 2 v 0 x 2

→

y ( x ) = x . t g θ - g 2 ( x 2 v 0 2 cos 2 ⁡ θ )

Sabendo agora que 1 cos 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ = 1 + t g 2 θ

→

y x = x . t g θ - g x 2 2 v 0 2 . t g 2 θ - g x 2 2 v 0 2  

Assim, temos uma equação de segundo grau que nos fornece as seguinte raízes

t g θ = - x ± x 2 - g x 2 v 0 2 2 - g x 2 v 0 2

Se observarmos, o valor g v 0 2   aparace frequentemente e tem relação com nosso alcance máximo de lançamento, show? Fica assim : g v 0 2 = 1 A m

t g θ = - x ± x 2 - x 2 A m   2 - x 2 A m

Para que haja 2 alturas diferentes de lançamento nosso Δ precisa ser maior que 0. Então vamos analisar o caso extremo onde Δ = 0 .

t g θ =   - x - x 2 A m = A m x

→

y x = x . A m x - g x 2 2 v 0 2 . A m 2 x 2 - g x 2 2 v 0 2

→

y x = A m - g 2 v 0 2 . A m 2 - g x 2 2 v 0 2

→

y x = A m - A m 2 2 A m - x 2 2 A m

→

y x = A m 2 - x 2 2 A m

Isso significa que caso nosso lançamento represente pontos que estão nessa parábola, conseguiremos ter apenas 1 ângulo que consiga alcançar seus pontos. Caso contrário e os pontos do lançamento estejam abaixo desse, nós teremos 2 ângulos diferentes para cada ponto do espaço! Show, bora treinar mais?

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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