N a Fig. 21-38, duas pequenas esferas condutoras de mesma massa m e mesma carga q estão penduradas em fios não condutores de comprimento L . Suponha que o ângulo θ é tão pequeno que a aproximaçâo t a n ⁡ θ ≈ s e n ⁡ θ pode ser usada. (a) Mostre que a distância de equilíbrio entre as esferas é dada por

x = q 2 L 2 π ε 0 m g 1 / 3

(b) Se  L = 120 c m , m = 10 g  e  x = 5,0 c m , qual é o valor de  | q |  ?

Passo 1

E aí galerinha, vamos destruir essa questão comigo? Vamos láaaa!

(a) A figura a seguir mostra o diagrama de corpo livre da esfera da esquerda. A força da gravidade m g → aponta para baixo, a força eletrostática da outra esfera aponta para a esquerda e a tensão do fio aponta na direção do fio, que faz um ângulo θ com a vertical. Como a esfera está em equilíbrio, a aceleração é zero. A componente y da segunda lei de Newton nos dá T c o s ⁡ θ - m g = 0 e a componente x n o s T s e n ⁡ θ - F c = 0 . De acordo com a primeira equação, T = m g / c o s ⁡ θ . Substituindo esse resultado na segunda equação, obtemos m g t a n ⁡ θ - F e = 0 .

Aplicando relações trigonométricas ao triângulo da Fig. 21-38 formado pelo ponto de suspensão e as duas esferas, obtemos:

t a n ⁡ θ = x / 2 L 2 - ( x / 2 ) 2

Se L é muito maior que x (o que acontece se θ for muito pequeno), podemos desprezar o termo x / 2 do denominador e fazer t a n ⁡ θ ≈ x / 2 L . De acordo com a Eq. 21-1, o módulo da força eletrostática que uma das esferas exerce sobre outra é

F e = k q 2 x 2 .

Substituindo essas duas expressões na equação  m g t a n ⁡ θ = F c , obtemos

m g x 2 L ≈ k q 2 x 2 ⇒ x ≈ 2 k q 2 L m g 1 / 3 .

Passo 2

(b) Explicitando  q  na expressão apresentada e substituindo os valores dados, obtemos:

| q | = m g x 3 2 k L = ( 0,010 k g ) 9,8 m / s 2 ( 0,050 m ) 3 2 8,99 × 10 9 N ⋅ m 2 / C 2 ( 1,20 m ) = 2,4 × 10 - 8 C

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Resposta

a. m g x 2 L ≈ k q 2 x 2 ⇒ x ≈ 2 k q 2 L m g 1 / 3 .

b. 2,4 × 10 - 8 C

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