A Figura 23.20 mostra um cabo coaxial. Um fio metálico cilíndrico de raio a é envolvido por uma capa metálica cilíndrica de raio b . Um plástico isolante preenche o espaço entre o fio e a capa. O plástico não é magnético, de forma que para o cálculo do campo magnético podemos tratá-lo como vácuo. Em operação com o cabo elétrico, a corrente de mesma intensidade I se propaga no fio e na capa em sentidos opostos. Calcule a auto-indutância por unidade de comprimento do cabo.

Passo 1

Fala pessoal, tudo tranquilo?

A seguir faço um desenho em corte do cabo coaxial:

Vamos considerar a região retangular em azul, entre os cabos, por onde atravessa o campo magnético que atravessa o retângulo, entrando na tela.

O campo elétrico a uma distância r do eixo é

B = μ 0 I 2 π r

Para calcular o fluxo, vamos considerar uma faxinha vertical de largura d r a uma distância r do eixo. O fluxo sobre essa faxinha será

d Φ B = B ⋅ d A = μ 0 I 2 π r l   d r

Para achar o fluxo vamos integrar em r de a até b :

Φ B = μ 0 I l 2 π ∫ a b d r r

Fazendo essa integral aparece o log:

Φ B = μ 0 I l 2 π ln ⁡ b a

Passo 2

A indutância é dada pela razão do fluxo pela corrente:

L = Φ B I

Portanto,

L = μ 0 l 2 π ln ⁡ b a

Daí, basta dividir pelo comprimento l para achar a indutância por unidade de comprimento:

L l = μ 0 2 π ln ⁡ b a

Resposta

L l = μ 0 2 π ln ⁡ b a

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