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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 15.1 - Ex. 17

Um oscilador é formado por um bloco preso a uma mola ( k = 400   N / m ). Em um certo instante t , a posição (medida a partir da posição de equilíbrio do sistema), a velocidade e a aceleração do bloco são x = 0,100   m , v = - 13,6   m / s e a = - 123   m / s 2 . Calcule (a) a frequência de oscilação, (b) a massa do bloco e (c) a amplitude do movimento.

Passo 1

Vamos lembrar como são as funções da posição, da velocidade e da aceleração do oscilador.

A posição é:

x s = A . c o s ⁡ ( ω s + φ )

A velocidade é (derivando a função de cima):

v s = - A ω   . sen ⁡ ω s + φ

A aceleração (derivando de novo) é:

a s = - A ω 2   . cos ⁡ ( ω s + φ )

Pronto, já podemos começar a resolver.

Obs.: Usamos uma variável s pra não confundir com o t que a questão usou no instante especial.

Passo 2

(a) As informações que a questão dá podem ser resumidas nesse sistema aqui, em um instante t :

A . cos ⁡ ω t + φ = 0,100

- A ω   . sen ⁡ ω t + φ = - 13,6

- A ω 2   . cos ⁡ ω t + φ = - 123

Nosso primeiro objetivo é achar o valor de ω .

Vamos tentar, por exemplo, dividir a terceira equação pela primeira:

- A ω 2   . cos ⁡ ω t + φ A . cos ⁡ ω t + φ = - 123 0,100

- ω 2 = - 1230

E então:

ω = 1230 = 35,07   r a d / s

Essa é a frequência angular, pra chegarmos na frequência de oscilação é só fazer:

f = ω 2 π = 35,07 2 π = 5,58   H z

Passo 3

(b) Agora queremos achar a massa do bloco. Como já temos os valores de ω e k , é só usar essa fórmula:

ω = k m

m = k ω 2

m = 400 35,07 2 = 0,325   k g

Passo 4

(c) Agora fica faltando a amplitude do movimento. Tem várias formas de resolver, mas a mais fácil deve ser aproveitar o sistema que já tínhamos. Lembrando:

A . cos ⁡ ω t + φ = 0,100

- A ω   . sen ⁡ ω t + φ = - 13,6

- A ω 2   . cos ⁡ ω t + φ = - 123

Podemos, por exemplo, pegar as duas primeiras equações e isolar os cossenos e senos:

cos ⁡ ω t + φ = 0,100 A

sen ⁡ ω t + φ = 13,6 A ω

Agora elevando ao quadrado e somando, vamos usar o fato de que sen 2 ⁡ ( x ) + cos 2 ⁡ x = 1 :

0,100 A 2 + 13,6 A ω 2 = 1

Multiplicando tudo por A 2 :

0,100 2 + 13,6 35,07 2 = A 2

A 2 = 0,160

A ≅ 0,400   m

Resolvido.

Resposta

(a) f = 5,58   H z

(b) m = 0,325   k g

(c) A = 0,400   m

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