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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 15.1 - Ex. 21

Na figura, duas molas estão presas a um bloco que pode oscilar em um piso sem atrito. Se a mola da esquerda é removida, o bloco oscila com uma frequência de 30   H z . Se a mola removida é a da direita, o bloco oscila com uma frequência de 45   H z . Com que frequência o bloco oscila se as duas molas estão presentes?

Passo 1

Então tá, vamos começar procurando uma fórmula pra frequência de um oscilador composto por um bloco e duas molas.

Se você se lembra bem da EDO que leva à função do oscilador harmônico, isso vai ser bem familiar. Vamos analisar as forças que agem sobre o bloco quando ele está preso nas duas molas.

Começando pela mola da esquerda: quando o bloco vai pra frente (direita), a mola puxa ele pra trás (esquerda), ou seja:

F e s q = - k 1 . x

Agora a mola da direita. Quando o bloco vai pra frente (direita), ele também empurra a mola pra trás (esquerda):

F d i r = - k 2 . x

Faz sentido, né? As duas molas querem manter o bloco onde ele está, então é compreensível que as forças tenham fórmulas iguais.

Agora colocando isso na segunda lei de Newton:

F = m a = F e s q + F d i r = - ( k 1 + k 2 ) . x

m a = - ( k 1 + k 2 ) . x

Passo 2

Agora você deve lembrar como isso vira uma EDO (equação diferencial ordinária).

A aceleração a ( t ) é simplesmente a derivada segunda do deslocamento x ( t ) , ou seja:

m . a ( t ) = - ( k 1 + k 2 ) . x ( t )

m . x ' ' t = - ( k 1 + k 2 ) . x ( t )

m . x ' ' t + ( k 1 + k 2 ) . x t = 0

Dividindo tudo pela massa:

x ' ' t + k 1 + k 2 m x t = 0

Agora, pra não ter que resolver a EDO (o que dá bastante trabalho) você tem que lembrar o seguinte, a EDO do oscilador harmônico segue essa fórmula aqui:

x ' ' t + ω 2 x t = 0

Onde esse ω é a frequência angular. Ou seja, olhando a nossa fórmula, dá pra ver que:

ω 2 = k 1 + k 2 m

ω = k 1 + k 2 m = k 1 m + k 2 m

Agora fica faltando achar esses valores de k 1 , k 2 e m .

Passo 3

A questão deu duas frequências de oscilação f 1 e f 2 , cada uma correspondente a uma mola, separadamente. Como a gente pode relacionar essas frequências às constantes elásticas das molas?

ω 1 = 2 π f 1 = k 1 m

ω 2 = 2 π f 2 = k 2 m

Beleza, agora vamos arrumar isso pra podermos substituir na equação lá de cima.

2 π f 1 2 = k 1 m

2 π f 2 2 = k 2 m

E agora substituindo:

ω = k 1 m + k 2 m = 2 π f 1 2 + 2 π f 2 2 = 2 π f 1 2 + f 2 2

Mas essa é a frequência angular, a frequência de oscilação vai ser:

f = ω 2 π

Ou seja:

f = 2 π f 1 2 + f 2 2 2 π = f 1 2 + f 2 2

Resultado sensacional, né? Bem legal. Essa é uma fórmula muito usada pra frequência de oscilações acopladas, em alguns livros é bastante discutida.

Agora substituindo:

f = 30 2 + 45 2 = 54   H z

Resolvido! Uma bela questão.

Resposta

Oscila com frequência f = 54   H z .

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