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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 16.1 - Ex. 84

Um fio de 2,00   m de comprimento, fixo nas duas extremidades está vibrando em seu modo fundamental. A tração no fiio é de 40,0   N e a massa do fio é de 0,100   k g . A amplitude no meio do fio é de 2,00   c m . (a) Determine a máxima energia cinética do fio. (b) Qual é a energia cinética do fio no instante em que o deslocamento transversal é dado por y = 0,0200   s e n ( π 2 x ) , onde y está em metros se x está em metros, para 0,00   m   ≤ x ≤ 2,00   m ? (c) Para qual valor de x o valor médio da energia cinética por unidade de comprimento é maior? (d) Para qual valor de x a energia potencial elástica por unidade de comprimento tem seu valor máximo?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Item (a):

A energia cinética máxima é dada por:

K m á x = 1 4 m ω 2 A 2

Sabemos que:

ω 1 = 2 π f 1

E que:

f 1 = v λ = v 2 L

A velocidade é dada por:

v = F T μ = F T L m

Substituindo e simplificando as equações, temos:

f 1 = F T 4 m L

Logo:

K m á x = 1 4 m 2 π F T 4 m L 2 A 2

K m á x = π 2 F T A 2 4 L

Substituindo os valores, temos:

K m á x = π 2 40   N 2 × 10 - 2   m 2 4 ( 2   m )

K m á x = 19,7   m J

Passo 2

Item (b):

A equação da onda, para o primeiro harmônico, é dada por:

y 1 x , t = A 1 sin ⁡ k 1 x cos ⁡ ω 1 t

No momento do deslocamento transfversal, temos que:

cos ⁡ ω 1 t = 0

O que implica dizer que:

ω 1 t = 0

E que K = 0 .

Passo 3

Item (c):

d K é máximo onde o deslocamento é maior, ou seja no meio:

x = 1 2 L

x = 1 2 2   m

x = 1   m

Passo 4

Item (d):

Existe uma aproximação que relaciona a energia potencial:

∆ U ∆ x ≈ 1 2 F T d y d x 2

Aplicando:

d y d x = d d x A 1 sin ⁡ k 1 x cos ⁡ ω 1 t

d y d x = k 1 A 1 cos ⁡ k 1 x cos ⁡ ω 1 t

Para a condição de máximo temos que:

cos ⁡ k 1 x = 0

Logo:

d y d x = 0

Temos que:

k 1 x = π 2

x = π 2 k 1

x = 1 4 λ

Como λ = 2 L , temos:

x = 1 2 L

x = 1 2 2   m

x = 1   m

Resposta

a ) K m á x = 19,7   m J

b ) K = 0

c ) x = 1   m

d ) x = 1   m

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