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Enunciado

Física - Randall D. Knight- Ed: 2º - Capítulo 8.Exercícios e Problemas - Ex. 24

24. Um foguete interceptador de 5000   k g é lançado em um ângulo de 44,7 ° . O empuxo gerado pelo motor do foguete é de 140700   N .

a. Obtenha uma equação do tipo y ( x ) que descreva a trajetória do foguete.

b. Qual é a forma da trajetória?

c. A que altitude o foguete atinge a velocidade do som, de 330   m / s ?

Passo 1

a) Opa! Aqui vamos nós de novo!

Olha só! Usando a segunda Lei de Newton, primeiramente vamos descobrir o valor da aceleração do foguete...

∑ F = m a

140700   N = 5000   k g a

a = 140700   N 5000   k g

a = 28,14   m / s ²

Sabendo o valor do ângulo de lançamento, em seguida bora decompor essa aceleração nas direções horizontal e vertical.

a x = a ⋅ cos ⁡ 44,7 °

a x = ( 28,14   m / s ² ) ⋅ cos ⁡ 44,7 °

a x = 20,0   m / s ²

a y = a ⋅ sen ⁡ 44,47 °

a y = ( 28,14   m / s ² ) ⋅ sen ⁡ 44,7 °

a y = 19,8   m / s ²

No caso, da aceleração em y , temos um fator a destacar. É a influência da aceleração da gravidade, que faz com que a nossa aceleração em y , na verdade seja de...

a r e a l , y = a y - g

a r e a l , y = 19,8   m / s ² - 9,81   m / s ²

a r e a l , y = 10,0   m / s ²

No caso do eixo x , continua tudo igual...

a r e a l , x = 20,0   m / s ²

E depois usar a equação para o M o v i m e n t o   U n i f o r m e m e n t e   V a r i a d o tanto no eixo x quanto no y . Uma vez que nos dois eixos temos aceleração presente.

Para o eixo x :

x = x 0 + v 0 x t + 1 2 a r e a l , x t 2

x = 1 2 ⋅ 20,0   m / s ² ⋅ t 2

x = 10,0   m / s ² ⋅ t 2

Para o eixo   y :

y = y 0 + v 0 y t + 1 2 a r e a l , y t 2

y = 1 2 ⋅ 10,0   m / s ² ⋅ t 2

y = 5,0   m / s ² ⋅ t 2

Dividindo y por x ...

y x = 5,0   m / s ² ⋅ t 2 10,0   m / s ² ⋅ t 2

y x = 1 2

y = x 2

Pronto! Essa é a equação de y em função de x !

Passo 2

b) Quanto à forma da trajetória!

y = 1 2 x

Bom! Tá bem claro que que vai ser uma reta com coefiente angular igual a   1 2 .

Passo 3

c) Pra finalizar, bora dar um jeito de encontrar a altitude que o foguete atinge a velocidade do som, de 330   m / s .

Para isso, primeiro vamos determinar as equações das velocidades nos eixos x e y . Como temos um M o v i m e n t o   U n i f o r m e m e n t e   V a r i a d o , então...

v y = v 0 y + a r e a l , y t

v y = ( 10   m / s ² ) t

v x = v 0 x + a r e a l , x t

v x = ( 20   m / s ² ) t

Para obter a velocidade resultante, basta tirar a raiz quadrada da soma das velocidades...

v = v x 2 + v y 2

v = ( 10   m / s ² ) 2 t 2 + ( 20   m / s ² ) 2 t 2 = ( 22,36   m / s ² ) t  

E como queremos o tempo no qual essa velocidade será de 330   m / s , basta igualar a fórmula anterior à 330   m / s .

( 22,36   m / s ² ) t = 330   m / s

t = 330   m / s 22,36   m / s ²

t = 14,76   s

Com esse tempo, basta substituir em y que encontraremos a altitude correspondente...

y = 5,0   m / s ² ⋅ t 2

y = 5,0   m / s ² ⋅ ( 14,76   s ) 2

y = 1090   m

E pronto! End!

Resposta

a)

y = x 2

b)

R e t a   c o m   c o e f i c i e n t e   a n g u l a r   i g u a l   a   1 2

c)

y = 1090   m

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