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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 9.1 - Ex. 98

Se a força do problema 96 atua ao longo de uma distância d , forneça, em termos dos símbolos, (a) a energia cinética da barra e (b) a energia cinética total do cilindro. (c) Mostre que a energia cinética total do sistema barra-cilindro é igual ao trabalho realizado pela força.

Passo 1

  1. A energia cinética da barra vai ser:

    2. K b = W = m v b 2 2

    Da equação de Torricelli, v b 2 = 2 a b d , e então:

    K b = m a b d

    Como achamos lá no problema 96,

    a b = 3 F M + 3 m

    E assim,

    K b = 3 m F d M + 3 m

    Passo 2

  2. A energia cinética do cilindro vai ser:

    3. K c = K t + K r = M v c 2 2 + I c m ω 2 2

    A velocidade angular ω vai ser calculada como v c - v b R , porque a velocidade angular do cilindro no ponto de contato é em relação à barra, e não à mesa.

    K c = M v c 2 2 + I c m v c - v b R 2 2

    Como já achamos, a b = 3 a c . Integrando esse resultado, vamos encontrar v b = 3 v c .

    K c = M v c 2 2 + 1 2 1 2 M R 2 - 2 v c R 2

    K c = 3 2 M v c 2

    Passo 3

    Como v b = 3 v c , v c 2 = v b 2 9 , e a b = 3 F M + 3 m . Na equação de Torricelli:

    v c 2 = v b 2 9 = 1 9 2 a b d = 2 9 3 F M + 3 m d

    v c 2 = 2 F d 3 M + 3 m

    Então,

    K c = 3 2 M 2 F d 3 M + 3 m

    K c = M F d M + 3 m

    Passo 4

  3. A energia total é dada por:

K = K c + K b

K = M F d M + 3 m + 3 m F d M + 3 m = M + 3 m F d M + 3 m = F d

Mas essa é a expressão do trabalho da força F que atua por uma distância d ! É exatamente o que queríamos demonstrar!

Resposta

a) K b = 3 m F d M + 3 m

b) K c = M F d M + 3 m

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