Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 38.Problemas - Ex. 71
Quando um fóton é emitido, o átomo recua em obediência à conservação do momento linear. Isso significa dizer que o fóton e o átomo untos absorvem a energia da transição. a) Para um átomo de massa , calcule a correção para o comprimento de onda do fóton emitido produzido pelo recuo do átomo. Chame de o comprimento da onda do fóton emitido sem considerar o recuo do átomo. (Sugestão: a correção é muito pequena, como sugerido no Problema 38.52, logo, . Use esse fato para obter uma expressão aproximada, porem precisa para . b) Calcule essa correão para o átomo de hidrogênio no qual um elétron na orbita de ordem retorna a seu estado fundamental. Como a resposta depende de ?
Passo 1
(a) Beleza, a questão pede para a gente encontrar a razão da diferença no comprimento de onda do fóton quando desprezamos o recuo do átomo e quando não desprezamos.
Vamos começar usando a conservação de energia para o processo todo:
A energia de transição de um nível de energia mais alto para o mais baixo libera um fóton, essa energia é igual à energia do próprio fóton mais a energia de recuo do átomo.
Mas a gente sabe a equação da energia de um fóton:
O linha ‘ no comprimento de onda é para a situação onde não desprezamos o recuo do átomo
A primeira equação então fica:
Isolando :
E a energia para o caso em que desprezamos o recuo:
Assim:
Isolando :
Passo 2
Agora a gente faz a diferença entre os comprimentos para os dois casos:
E substitui:
Tirando MMC:
O primeiro termo no parêntesis pode ser escrito como:
Sendo que na última aproximação usamos o teorema binomial, já que a energia de recuo é muito pequena a ponto de muitas vezes ser desprezada.
Substituindo na equação sobra:
Mas como:
Então:
Passo 3
A energia de recuo depende do momento do átomo:
Mas podemos escrever o momento de recuo em termos das propriedades do fóton envolvido. Sabemos que o momento de um fóton é:
Pela conservação:
Então:
Agora a gente substitui na energia:
Substituindo na equação do Passo 2:
Passo 4
b) Para o átomo de hidrogênio, basta a gente substituir o valor das constantes e da massa dele na equação que encontramos na (a):
E a correção não depende de já que as transições estão em uma escala muito maior em termos de comprimento do que a correção, e ela pode ser desprezada.