Enunciado

46. Um indutor de 0,250   H conduz uma corrente que varia com o tempo de acordo com a expressão i = 124   m A cos ⁡ [ 240 π / s t ] . ( a ) Determine uma expressão para a fem induzida em função do tempo. Faça um gráfico para a corrente induzida e para a fem induzida em função do tempo desde t = 0 até t = 1 60 s . ( b ) Qual é a fem máxima? Qual é a corrente quando a fem induzida é máxima? ( c ) Qual é a corrente máxima? Qual é a fem induzida quando a corrente é máxima?

Passo 1

Primeiro, vamos ver como encontramos a fem ( ε ) tendo a expressão da corrente em função do tempo, temos:

ε = - L d i d t

Então basta derivar a função da corrente e multiplicar por - L que encontramos a fem.

Para achar a fem máxima, basta derivar a expressão que encontrarmos para ela e igualar a zero e achar o valor de t que faça isso ser verdadeiro, depois derivamos mais uma vez e vemos se esse valor de t faz com que a expressão seja positiva. Essa é a mesma ideia que usamos para achar máximos de funções em cálculo.

Tendo esse valor é só substituir na expressão original e ver o valor para a fem que encontramos.

d ε d t = 0

d 2 ε d t 2 > 0

E para achar a corrente quando essa fem ocorre temos que pegar o mesmo valor de t que encontramos para a fem máxima e substituir na expressão da corrente, achando assim acorrente no instante que a fem é máxima.

Para achar a corrente máxima vamos fazer exatamente o mesmo processo que fizemos anteriormente para a fem, só que agora com a expressão da corrente.

d i d t = 0

d 2 i d t 2 > 0

E para achar a fem quando essa corrente ocorre temos que pegar o mesmo valor de t que encontramos para a corrente máxima e substituir na expressão da fem, achando assim fem no instante que a corrente é máxima.

Passo 2

Vamos encontrar então a expressão para ε , temos:

  i = 0 , 124 cos ⁡ 240 π t

Eu passei 124   m A → 0,124   A já que é melhor se trabalhar com A .

ε = - L d i d t

⇒ ε = - L d d t ( 124 cos ⁡ 240 π t )

= - L [ 0,124 * ( - 240 π sin ⁡ 240 π t ) ]

⇒ ε = L [ 93,49 sin ⁡ 240 π t ]

Lembrando que segundo o enunciado L = 0,250   H , temos:

ε = 23,4 sin ⁡ 240 π t

Abaixo temos o gráfico dessas duas expressões, para i em m A e ε em V .

Passo 3

Se você reparar nas expressões que temos para acorrente e a fem, elas são funções periódicas por conta dos termos de cosseno e seno, os valores se repetem com o tempo.

Então temos mais de um valor de t que faz com que elas sejam máximas.

Lembrando o que sabemos sobre funções senos e cossenos, lembraremos que os valores máximos dessas funções é 1 , assim temos que:

i m á x = 0,124   A

ε m á x = 23,4   V

Que são os termos que multiplicam o cosseno e o seno.

Passo 4

Agora vamos ver que valores de t fazem com que o termo cosseno seja igual a 1 , temos:

cos ⁡ 240 π t = 1

Se escolhermos t = 0 , temos:

cos ⁡ ( 0 ) = 1

Que é verdadeiro. Então em t = 0 temos i m á x , substituindo esse valor na fórmula da fem, temos:

ε = 23,4 sin ⁡ 240 π * 0

= 23,4 sin ⁡ 0

= 0

Então na corrente máxima temos ε = 0 .

Passo 5

Agora vamos ver que valores de t fazem com que o termo cosseno seja igual a 1 , temos:

s in ⁡ 240 π t = 1

⇒ t = 1 240 π arcsin ⁡ ( 1 )

⇒ t = 1 480 s

Então em t = 1 / 480   s temos ε m á x , substituindo esse valor na fórmula da corrente, temos:

  i = 0 , 124 cos ⁡ 240 π 1 480

= 0,1 24 co s ⁡ π 2

= 0

Então na fem máxima temos i = 0 .

Resposta

( a )

ε = 23,4 sin ⁡ 240 π t

( b )

ε m á x = 23,4   V

i = 0

( c )

i m á x = 0,124   A

ε = 0

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