Enunciado
Física - Moysés - Vol. 4 - Ed: 1º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 3
3. A construção sobre um plano das zonas de Fresnel pode ser estendida a uma onda incidente esférica, proveniente de um ponto fonte (fig.). Nesse caso, o pólo se obtém unindo o ponto de observação à fonte puntiforme e tomando a intersecção com , e as zonas de Fresnel são definidas pelas condições (fig.):
Os raios das zonas são . Uma lente de Fresnel se define da mesma forma que para uma onda incidente plana. Demonstre que o raio da -ésima zona de Fresnel é dado por
onde
fórmula análoga à de uma lente, em que é a distância objeto e a distância imagem. Verifique que, no caso limite de uma onda plana o resultado se reduz ao anterior.
Passo 1
E vamos para mais um problema, mas fica tranquilo que juntos vamos conseguir resolvê-lo.
Nesse problema vamos precisar nos atentar mais na matemática envolvida do que na física em si, já que a construção dessas zonas de Fresnel é baseada em geometria.
Vamos chegar na expressão para o raio da primeira zona, a partir disso podemos generalizar já que o mecanismo de construção é sempre o mesmo.
Vamos lá então.
Passo 2
Da nossa figura podemos tirar que a distância pode ser escrita da seguinte forma usando Pitágoras.
Agora usando aproximação polinomial temos:
De forma análoga temos que:
Passo 3
Agora, o enunciado nos forneceu o seguinte:
Então vamos somar as expressões que encontramos e ver no que temos.
Fazendo que:
Temos que:
Agora usando o que o enunciado nos deu temos:
Usando a notação do enunciado temos:
Com isso podemos generalizar para uma zona (já que a construção é análoga, só muda a fase de ) que vai ter o raio dado por:
Passo 4
Agora vamos verificar o caso limite de uma onda plana.
Para uma onda plana temos que (que é bem dizer o raio da onda). Assim temos que:
Então temos que os raios das zonas de Fresnel são dados por:
Então conseguimos voltar ao formalismo da onda plana mostrado no livro.
Resposta
Demonstrado acima