3. A construção sobre um plano das zonas de Fresnel pode ser estendida a uma onda incidente esférica, proveniente de um ponto fonte (fig.). Nesse caso, o pólo se obtém unindo o ponto de observação à fonte puntiforme e tomando a intersecção com , e as zonas de Fresnel são definidas pelas condições (fig.):

Os raios das zonas são . Uma lente de Fresnel se define da mesma forma que para uma onda incidente plana. Demonstre que o raio da -ésima zona de Fresnel é dado por

onde

fórmula análoga à de uma lente, em que é a distância objeto e a distância imagem. Verifique que, no caso limite de uma onda plana o resultado se reduz ao anterior.

Da nossa figura podemos tirar que a distância   pode ser escrita da seguinte forma usando Pitágoras.

Agora usando aproximação polinomial temos:

De forma análoga temos que:

Agora, o enunciado nos forneceu o seguinte:

Então vamos somar as expressões que encontramos e ver no que temos.

Fazendo que:

Temos que:

Agora usando o que o enunciado nos deu temos:

Usando a notação do enunciado temos:

Com isso podemos generalizar para uma zona (já que a construção é análoga, só muda a fase de ) que vai ter o raio dado por:

Agora vamos verificar o caso limite de uma onda plana.

Para uma onda plana temos que (que é bem dizer o raio da onda). Assim temos que:

Então temos que os raios das zonas de Fresnel são dados por:

Então conseguimos voltar ao formalismo da onda plana mostrado no livro.