Inversão relativística da ordem de dois eventos. As figs 37-25ª e 37-25b mostram uma situação (usual) em que um referencial S’passa por um referencial S, na direção positiva comum dos eixos x e x’, movendo-se com velocidade constante v em relação a S. O observador 1 está em repouso no referencial S e o observador 2 está em repouso no referencial S’. As figuras também mostram eventos A e B que ocorrem nas seguintes coordenadas do espaço-tempo, expressas nos dois referenciais:

Evento Referencial S Referencial S’

A ( x A , t A ) ( x ' A , t ' A )

B ( x B , t B ) ( x ' B , t ' B )

No referencial S, o evento A ocorre antes do evento B, com uma distância temporal Δ t = t B - t A = 1 μ s e uma distância espacial Δ x = x B - x A = 400 m . Seja Δ t ' a distância temporal dos eventos de acordo com o observador 2. (a) Escreva uma expressão para Δ t ' em termos do parâmetro de velocidade β e dos dados do problema. Faça um gráfico de Δ t ' em função de β para os seguintes intervalos: (b) 0 ≤   β ≤ 0,01 (baixas velocidades, 0 ≤ v ≤ 0,01 c ) e (c) 0,1 ≤ β ≤ 1 (altas velocidades, 0,1 c ≤ v ≤ c ). (d) Para que valor de β a distância temporal Δ t ' é nula? Para que faixa de valores de β a sequencia dos eventos A e B para o observador 2 é (e) a mesma que para o observador 1 e (f) não é a mesma que para o observador 1? (g) O evento A pode ser a causa do evento B ou vice-versa? Justifique sua resposta.

Passo 1

A transformação de Lorentz para os espacos é

x ' = γ x - v t = x - v t 1 - β 2

A transformação de Lorentz para os tempos é

t ' = γ t - v x c 2 = t - β x c 1 - β 2

Passo 2

(a) Temos que

Δ t ' = γ Δ t - v Δ x c 2   = γ Δ t - β Δ x c = γ 1 ⋅ 10 - 6 - 400 β 2,998 ⋅ 10 8

Passo 3

(b) Para o intervalo dado, temos que o gráfico de Δ t ' é

O gráfico não pode ser distinguido de uma reta horizontal. Isso ocorre porque, para valores pequenos do parâmetro de velocidade, a distancia temporal entre os eventos medida pelo observador 2 é praticamente igual à distancia medida pelo observador 1. Em outras palavras, neste caso não são observador os efeitos relativísticos.

Passo 4

(c) Para o intervalo dado, temos que o gráfico de Δ t ' é

Passo 5

(d) Fazendo

Δ t ' = γ Δ t - β Δ x c = γ 10 - 6 - 400 β 2,998 ⋅ 10 8 = 0

Temos:

β = c Δ t Δ x = 2,998 ⋅ 10 8 ⋅ 10 - 6 400 0,7495

Passo 6

(e) De acordo com o passo 4, a sequencia dos eventos para o observador 2 é a mesma que para o observador 1 para β < 0,7495 , pois Δ t ' > 0 .

Passo 7

(f) De acordo com o passo 4, a sequencia dos eventos para o observador 2 é a mesma que para o observador 1 para β > 0,7495 , pois Δ t ' < 0 .

(g) Não, o evento A não pode ser a causa do evento B, pois um sinal não pode se propagar com uma velocidade maior do que a da luz.

Resposta

(d) O parâmetro de velocidade é   β = 0,750 .

(e) A sequencia dos eventos é a mesma.

(f) A sequencia dos eventos não é a mesma.

(g) O evento A não pode ser a causa do evento B.

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