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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 23.Problemas - Ex. 59

O íon de H 2 + é constituído por dois prótons, cada um deles com carga 1,6 ⋅ 10 - 19 C e um elétron com massa 9,11 ⋅ 10 - 31 K g e carga -e. A distância entre os prótons é igual 1,07 ⋅ 10 - 10 m . O s prótons e os elétrons podem ser considerados cargas puntiformes.

a)Suponha que o elétron esteja situado exatamente no meio da distância entre os dois pr´tontons. Qual é a energia potencial da interação entre o elétron e dos dois prótons? (Não inclua a energia potencial da interação entre os dois prótons.)

b)Suponha que, no item (a), o elétron possua velocidade com módulo igual a 1,5 ⋅ 10 6 m / s em uma direção ao longo da perpendicular que passa pelo centro do segmento de reta que une os dois prótons. Até que distância máxima desse centro o elétron poderá se deslocar? Como a massa de um próton é muito maior que a massa do elétron, o movimento dos prótons pode ser desprezado. (Nota: Somente a mecânica quântica, e não a mecânica newtoniana, pode ser usada para uma descrição realística do movimento do elétron. )

Passo 1

letra a)

A energia de interação do elétron com um próton é:

U = - k e 2 r

Considerando os dois prótons:

U = - 2 k e 2 r

U = - 2 8,99 ⋅ 10 9 1,6 ⋅ 10 - 19 2 1,07 ⋅ 10 - 10 / 2

U = - 8,6 ⋅ 10 - 18 J

Passo 2

letra b)

Agora ele pede o d máximo e nos fala da velocidade do elétron. Usaremos o que???

Conservação de energia!

Δ K = - Δ U

K b - K a = - U b - U a

A distância será máxima quando v b = 0 e na letra a calculamos U a

K a = - 2 k e 2 r b - - 8,6 ⋅ 10 - 18

1 2 m v a 2 = - 2 k e 2 r b + 8,6 ⋅ 10 - 18

Passo 3

Podemos escrever r b = d 2 + r a 2

1 2 m v a 2 = - 2 k e 2 d 2 + r a 2 + 8,6 ⋅ 10 - 18

2 k e 2 d 2 + r a 2 = - 1 2 m v a 2 + 8,6 ⋅ 10 - 18

2 k e 2 d 2 + r a 2 = - 1 2 9,11 ⋅ 10 - 31 1,5 ⋅ 10 6 2 + 8,6 ⋅ 10 - 18

2 k e 2 d 2 + r a 2 = 7,575 ⋅ 10 - 18

Passo 4

Agora isolamos o d

d 2 + r a 2 = 2 k e 2 7,575 ⋅ 10 - 18

d 2 + r a 2 = 2 k e 2 7,575 ⋅ 10 - 18 2

d 2 = 2 8,99 ⋅ 10 9 1,6 ⋅ 10 - 19 2 7,575 ⋅ 10 - 18 2 - 1,07 ⋅ 10 - 10 2 2

d 2 = 36,91 ⋅ 10 - 22 - 0,286 ⋅ 10 - 22

d = 2,88 ⋅ 10 - 11 m

Resposta

letra a)   U = - 8,6 ⋅ 10 - 18 J

letra b) d = 2,88 ⋅ 10 - 11 m

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