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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 9.1 - Ex. 4

As lâminas de um ventilador giram com velocidade angular dada por ω z t = γ - β t 2 , onde γ = 5   r a d / s e β = 0,8   r a d / s 3 .

a) Calcule a aceleração angular em função do tempo.

b) Calcule a aceleração angular instantânea α para t = 3 s e a aceleração angular média α m para o intervalo de tempo t = 0 até t = 3 s . Como essas duas grandezas podem ser comparadas? Caso elas sejam diferentes, por que são diferentes?

Passo 1

Fala, galerinha! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a aceleração angular em função do tempo, dada a velocidade angular ω z t = γ - β t 2 , onde γ = 5   r a d / s e β = 0,8   r a d / s 3 . E calcular a aceleração angular instantânea α para t = 3 s e a aceleração angular média α m para o intervalo de tempo t = 0 até t = 3 s .

Pra isso, nós sabemos que a aceleração é a derivada temporal da velocidade. Como temos uma expressão para a velocidade em função do tempo, é só derivar e encontramos a aceleração, fazendo:

α z = d ω d t

Depois, basta substituir os valores de t na expressão encontrada. Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando a expressão da velocidade angular:

α z = d d t 5 - 0,8 t 2

α z = - 2 ⋅ 0,8 ⋅ t

Assim, obtemos a expressão para a aceleração em função do tempo:

α z = - 1,6 t

Passo 3

A aceleração instantânea é aquela em que substituímos o valor exato do tempo na expressão da derivada do passo anterior. Ela mede exatamente a aceleração naquele instante de tempo.

Então, fazendo t = 3 na expressão ali de cima para α z temos:

α z 3 = - 1,6 ⋅ 3

α z 3 = - 4,8 r a d / s 2

Show!

Passo 4

O problema também pede a aceleração média! A aceleração média é determinada tomando a média entre dois pontos de velocidade e dividindo pelo tempo total decorrido entre eles. O problema pede entre os instantes 0   e   3 s . Então temos:

α m é d i o = ω z 3 - ω z 0 3

α m é d i o = - 2,2 - 5 3

α m é d i o = - 2,40 r a d / s 2

Mas olha só! Vamos comparar as duas acelerações! A aceleração média é a metade do valor da aceleração instantânea em t = 3 s ! Isso significa que a aceleração α z ( t ) aumenta linearmente com o tempo!

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a )   α z t = - 1,6 t

b )   α z 3 = - 4,8 r a d / s 2   α m é d i o = - 2,40 r a d / s 2

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