Largadas do repouso da mesma altura, uma casca esférica fina e uma esfera maciça, de mesma massa m e mesmo raio R , descem rolando um plano inclinado, sem deslizar, da mesma altura vertical H (figura 9-64). As duas são lançadas horizontalmente ao abandonarem a rampa. A casca esférica atinge o solo a uma distância horizontal L da base da rampa e a esfera maciça atinge o solo a uma distância horizontal L ' da base da rampa. Determine a razão L ' L .

Passo 1

Bora lá ver mais esse probleminha. Aqui duas esferas rolam pela rampa, até saírem dela e pularem para fora. Queremos relacionar as distâncias que elas alcançam. Se liga que a única diferença entre os dois objetos é o momento de inércia. Vambora então dar uma olhada no que dá pra fazer!

Passo 2

As distâncias alcançadas são proporcionais às velocidades que tinham quando saem da rampa, porque o tempo de queda é o mesmo.

L ' L = v m a c i ç a Δ t v c a s c a Δ t = v m a c i ç a v c a s c a

Passo 3

Conservando a energia do momento em que as esferas saem da rampa até quando estão prestes a tocar o chão (a potencial gravitacional vira cinética):

m g h = m v 2 2 + I ω 2 2

Todos os momentos de inércia são da forma I = k m r 2 , e sabemos também que v = ω r . Daí:

m g h = m v 2 2 + k m r 2 v r 2 2

m g h = m v 2 2 + k m v 2 2 = k + 1 m v 2 2

v = 2 g h k + 1

Passo 4

Substituindo essa expressão na equação da razão dos comprimentos:

L ' L = 2 g h k m a c i ç a + 1 2 g h k c a s c a + 1 = k c a s c a + 1 k m a c i ç a + 1

L ' L = 1 + 2 3 1 + 2 5 = 5 3 7 5 = 25 21

L ' L = 1.09

Resposta

L ' L = 1.09

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