Lembre que ψ 2 d x é a probabilidade de encontrar uma partícula com uma função de onda normalizada ψ ( x ) no intervalo entre x e x + d x . Considere uma partícula no interior de uma caixa com paredes rígidas em x = 0 e x = L . Suponha que a partícula esteja no primeiro nível excitado e use ψ n conforme indicado na equação ψ n ( x ) = 2 L s e n n π x L . (a) Para que valores de x , caso existam, no intervalo de 0 até L a probabilidade de encontrar a partícula é igual a zero? (b) Para que valores de x a probabilidade atinge seu valor máximo? (c) Suas respostas dos itens (a) e (b) estão de acordo com a figura? Explique.

Passo 1

No primeiro nível excitado n = 2 , logo:

ψ 2 ( x ) = 2 L s e n 2 π x L

Passo 2

letra a)

Temos que ψ 2 d x = 0 implica em:

s e n 2 π x L = 0

2 π x L = m π

Sendo m = 0,1 , 2 , . . . . Então x será:

x = m L 2

Para m = 0 ,   x = 0 ; Para m = 1 , x = L 2 ; e para m = 2 , x = L

Então a probabilidade de encontrar a partícula é nula para   x = 0 ,   x = L / 2 e   x = L

Passo 3

letra b)

Temos ψ 2 d x máximo para:

s e n 2 π x L = ± 1

2 π x L = m π 2

Sendo m = 1,3 , 5 , . . . . Então x será:

x = m L 4

Para m = 1 ,   x = L 4 ; Para m = 3 , x = 3 L 4

Então a probabilidade de encontrar a partícula é nula para x = L 4 , x = 3 L 4

Passo 4

letra c)

Pelo desenho vemos que a probabilidade é nula nos extremos e no meio.

Além disso, temos dois máximos de probabilidade.

Logo nossa resposta dos itens (a) e (b) concordam com o desenho.

Resposta

letra a)   x = 0 ,   x = L / 2 e   x = L

letra b) x = L 4 , x = 3 L 4

letra c)Concordam.

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