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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 40.Exercícios - Ex. 8

(a)Mostre que ψ = A s e n   k x é uma solução para a equação - h / 2 π 2 2 m d 2 Ψ ( x ) d x 2 = E Ψ ( x ) se k = 2 π 2 m E / h . (b) Explique por essa é uma função de onda aceitável para uma partícula em uma caixa com paredes rígidas em x = 0 e x = L apenas se k for um número inteiro múltiplo de π / L .

Passo 1

letra a)

Se isolarmos o termo com a derivada na equação:

- h / 2 π 2 2 m d 2 Ψ ( x ) d x 2 = E Ψ ( x )

Teremos:

d 2 Ψ ( x ) d x 2 = - 2 m h / 2 π 2 E Ψ ( x )

Se considerarmos k = 2 π 2 m E / h , teremos:

d 2 Ψ ( x ) d x 2 = - k 2 Ψ ( x )

E essa equação é equação do oscilador harmônico.

Logo,

ψ = A s e n   k x

é solução do oscilador.

Passo 2

Podemos comprovar isso substituindo a função de onda dada na equação.

d 2 d x 2 A   s e n   k x = - k 2 A s e n   k x

d d x d d x A   s e n   k x = - k 2 A s e n   k x

d d x - A k   c o s   k x = - k 2 A   s e n   k x

- A k 2 s e n   k x = - k 2 A   s e n   k x

Passo 3

letra b)

A função de onda de uma partícula em uma caixa é nula nos extremos da caixa ( em x   =   0 e x   =   L ). A função de onda dada no enunciado deve zerar nas extremidades; a função fornecida zera em x   =   0 para qualquer k . Contudo, para zerar em x   =   L ,   k L   =   n π para o número inteiro n .

Resposta

letra b)A função zera nas extremidades.

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