Uma lente em um líquido. Uma lente obedece à lei de Snell, desviando os raios de luz em cada superfície com ângulos que dependem do índice de refração da lente e do índice de refração do material no qual a lente está imersa. (a) A Equação (34.19) supõe que a lente esteja circundada pelo ar atmosférico. Em vez disso, suponha que uma lente delgada esteja imersa em um líquido com índice de refração n l i q . Mostre que a distânia focal f ' pode então ser dada pela Equação (34.19) substituindo-se n por n / n l í q í . (b) Uma lente delgada possui distância focal f e índice de refração n no vácuo. Use o resultado do item (a) para mostrar que, quando uma lente delgada está imersa em um líquido com índice de refração n l i q , sua nova distância focal é dada por f ' = n l í q n - 1 n - n l í q f í í Equação 34.19 : 1 f = n - 1 1 R 1 - 1 R 2

Enunciado

Já que estamos passando de um meio material para outro, vamos usar essa equação aqui:

Para a primeira “metade” da lente, estamos indo do líquido com índice para a lente com índice :

Agora, a imagem que foi gerada na posição vai servir de objeto na posição para a segunda “metade” da lente.

Além disso, estamos indo da lente de índice para o líquido :

Isso dá um sistema de duas equações:

(a) Se a gente somar as duas equações, ficamos com esse resultado aqui:

Agora vamos mexer um pouco no lado direito da equação:

E então podemos dividir tudo por :

Esse termo aí do lado esquerdo é muito parecido com essa fórmula aqui:

Mas aplicado à lente inteira! Desde quando o objeto está em até quando a imagem é gerada em pela segunda “metade” da lente. Então:

(b) Quando a lente está imersa no líquido, vale a fórmula que a gente acabou de demonstrar:

E quando ela está imersa no ar, a fórmula é essa aqui:

O termo no último parênteses é igual nos dois casos. Dá pra explorar isso pra escrever essa igualdade aqui:

E agora é só reorganizar um pouco pra chegar na fórmula do enunciado:

Resolvendo a subtração de frações no denominador:

(a) Demonstração.

(b) Demonstração.