Enunciado
Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 13.1 - Ex. 1
Uma massa M é dividida em duas partes, m e M-m, que são em seguida separadas por uma certa distância. Qual é a razão m/M que maximiza o módulo da força gravitacional entre as partes?
Passo 1
Belezera galerinha, temos a equação da força gravitacional dada como:
No problema, uma massa foi fragmentada dando origem a duas novas massas. E queremos encontrar a razão entre as massas, tal que:
Tal que as massas após a divisão, serão dadas como:
Agora a malandragem é a gente colocar a massa em evidência em todas as massas individuais, de forma que teremos:
E olha quem apareceu ali rsrsrs a nossa sumida razão :
Oi sumida!!
Dessa maneira, a força gravitacional entre essas duas massas será dada como:
Logo:
Onde é a distância entre as massas.
Passo 2
Belezoca, então se queremos maximizar a força gravitacional, na verdade queremos maximizar a função:
E pra isso a gente pode derivar a função em função da variável , onde é nossa razão:
Então de quebra, a gente encontra a razão entre as massas que já maximiza a força gravitacional entre elas!!!
E agora pra maximizar essa função, podemos lembrar lá das aulinhas de cálculo, e derivar a função igualando a zero, tal que:
Logo:
Portanto:
Sendo assim, razão entre as massas que maximiza a força gravitacional entre ela é:
