A massa específica média da Lua é ρ = 3340   k g / m 3 . Determine o menor período possível T de uma espaçonave orbitando a Lua.

Passo 1

(a) A terceira lei de Kepler nos diz o seguinte:

T 2 = C r 3 , onde C é uma constante

Logo, o menor período será quando o corpo estiver na superfície da Lua, pois teremos o menor r .

Passo 2

Usando a lei da gravitação universal, temos:

F r e s = G M L m R L 2

Como teremos uma resultando apontando para o centro, isto é, centrípeta as coisas ficam assim:

G M L m R L 2 = m ω 2 R L

Isolando a velocidade angular:

ω = G M L R L 3

Como o enunciado nos deu a massa específica, vamos relacionar isso com o que temos.

ρ = M L V L = M L 4 3 π R L 3

Logo,

M L R L 3 = 4 3 π ρ

Passo 3

Agora é só juntar o que nós temos.

ω = G M L R L 3 = G 4 3 π ρ = 2 G π ρ 3

Como T = 2 π ω :

T = 2 π 2 G π ρ 3 = 3 π G ρ

Fazendo as contas:

T = 3 π 6,673 × 10 - 11   N ⋅ m 2 / k g 2 ⋅ ( 3340   k g / m 3 ) = 6503 s = 1 h   48 m i n

Resposta

T m í n = 1 h   48 m i n

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