40. Um projétil é disparado para longe da Terra, em linha reta, a partir de uma base no lado oculto da Lua. Qual será a velocidade de escape do projétil do sistema Terra-Lua?

Passo 1

A energia mecânica do sistema Terra + projétil + Lua é conservada, sendo assim vamos usar conservação de energia nesse problema. Contudo, quando ele sair do sistema ele não sofrerá mais atração da Terra e da Lua, isso facilitará nossa resolução pois em um dado momento a velocidade final e a energia potencial gravitacional serão zero.

Algo que também precisamos prestar atenção é que como o projétil é disparado do outro lado da Lua sua distância inicial ao centro da Terra é a distância entre a Terra e a Lua somado com o raio da Lua, ou seja:

R T - o b j = R T - L + R L

Já a distância do objeto ao centro da Lua é o raio da Lua.

Passo 2

Fazendo a conservação de energia teremos:

1 2 m v e s c a p e 2 - G M T e r r a m R T - L + R L - G M L u a m R L =   0   J + 0   J

Como queremos a velocidade de escape vamos isolá-la e ficaremos com uma equação na forma:

v e s c a p e 2 = 2 G M T e r r a R T - L + R L + M L u a R L

Como todos os valores são tabelados podemos apenas substitui-los:

v e s c a p e = 2 ( 6,67 ⋅ 10 - 11 ) 5,98 ⋅ 10 24   k g 3,84 ⋅ 10 8   m + 1,74 ⋅ 10 6   m + 7,36 ⋅ 10 22   k g 1,74 ⋅ 10 6   m = 2,7 ⋅ 10 3   m / s

Resposta

v e s c a p e = 2,7 ⋅ 10 3   m / s

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