Enunciado
Física - Fundamentos de Física - Mecânica Volume 1 - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 10.7 - Ex. 44
As massas e as coordenadas de quatro partículas são as seguintes: . Qual é o momento de inércia do sonjunto em relação ao eixo (a) x, (b) y e (c) z? Suponha que as respostas de (a) e (b) sejam A e B, respectivamente. Neste caso, qual é a resposta de (c) em termo de A e B?
Passo 1
Para calular o momento do inércia para várias massas, usamos a equação:
Onde seria a quantidade de massas , enquanto seria distância de uma certa massa até o eixo.
Passo 2
Então show de bolinhas, na letra (a) queremos calcular o momento de inércia em relação ao eixo , dessa maneira vamos pegar somente a distância em cada massa se encontra do eixo . Temos que tomar cuidado, porque queremos a distância até o eixo , e não a coordenada da massa no eixo . Sendo assim, essa distância é dada pelo valor de da coordenada da massa.
De maneira que em relação ao eixo x, medimos a distância das partículas no eixo y, logo:
Passo 3
Agora na letra (b), queremos medir o momento de inércia em relação ao eixo , então fazemo exatamente a mesma coisa que no passo anterior, só que agora usamos a coordenada para descrever a distância da massa até o eixo . Sendo assim, em relação ao eixo y, medimos a distância das partículas no eixo x, logo:
Passo 4
Já na letra (c). Teremos que a distância das massas até o eixo , é expressa como:
Logo, o momento de inércia será:
De forma que:
Então relação ao eixo z, teremos que:
Com base no valor obtido somando , podemos dizer que o teorema dos eixos perpendiculares nos mostra que ele é válido para este caso, pois as massas estão contidas num mesmo plano.
Resposta
a)
b)
c)