Enunciado
Física - Moysés - Vol. 2 - Ed: 4º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 5
Um modelo aproximado da câmara de combustão de um foguete é um recipiente contendo gás que se mantém a uma pressão constante , com um orifício pelo qual o gás escapa para o exterior, onde a pressão é . Tratando o gás como um fluido incompressível, demonstre que o empuxo resultante sobre o foguete é igual a , onde é a área do orifício.
Passo 1
Pela segunda lei de Newton, nós sabemos que a soma das forças externas agindo sobre um sistema é:
Onde é o momento linear. Nesse caso, não existem forças externas agindo, então:
Usando a regra do produto:
O empuxo é justamente a força associada à essa aceleração , então:
E podemos escrever a massa como produto da densidade do gás e do volume no interior do tubo:
Como a densidade é uma constante, ficamos apenas com:
Passo 2
Agora vamos lembrar da fórmula para essa taxa de variação do volume (que é a vazão volumétrica):
Onde é a área do orifício por onde o gás escapa e é a sua velocidade:
Agora precisamos encontrar alguma expressão para substituir .
Usando a equação de Bernoulli entre dois pontos (um no interior e um sobre o orifício).
A pressão no ponto interior é , e a pressão no ponto sobre o orifício é a pressão atmosférica :
Os dois pontos estão na mesma altura , então:
E a velocidade do gás no interior da câmara é nula:
Passo 3
Vamos substituir isso na fórmula que encontramos para o empuxo:
Que é exatamente a fórmula que queríamos demonstrar.
O sinal negativo só indica que o empuxo empurra o foguete na direção contrário à de ejeção do gás. Podemos ignorar isso sem problemas (é só trocar o referencial).
Resposta
Demonstração.